Graficar la derivada de cualquier función
Ubicación en función del tiempo
A menudo tengo este sueño en el que estoy de vuelta en la escuela secundaria y acabo de aprender a conducir. Mi padre está ahí, y no confía en mí exactamente en el auto, así que pone un rastreador GPS en mi auto. Iba a sentarse frente a su computadora y observar exactamente dónde estaba yo en un momento dado. Digamos que este rastreador GPS midió la distancia que estaba, en un momento dado, de casa. Entonces, por ejemplo, un día está sentado frente a su computadora y ve este gráfico de mi ubicación como una función del tiempo. Por aquí, ve que me fui de casa, me encontré con un atasco, fui al centro comercial y luego, finalmente, volví a casa, un poco tarde, seguro me lo recordaba.
Las derivadas de una función
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Aparte de mi ubicación en función del tiempo, también estaba interesado en qué tan rápido iba, mi velocidad . Entonces, puede usar el hecho de que mi velocidad es la derivada de mi posición en función del tiempo para determinar, aproximadamente, qué tan rápido iba en un momento dado. Entonces dx / dt .
Aquí mismo, acabo de salir de casa, y para que se vea bien, salgo del camino de entrada muy, muy lentamente. Mi derivada, que es la pendiente de la tangente, es muy pequeño. Es positivo porque me voy de casa, pero es pequeño. Cuando salgo de la casa, acelero. Mi posición cambia mucho más rápido en función del tiempo. Eso es cierto hasta que llego a este atasco, lo que vuelve a frenarme. Entonces aquí arriba, mi derivada es más pequeña. Cuando llego al centro comercial, detengo el coche. Cuando aparco el coche, su posición no cambia en función del tiempo. Entonces aquí, mi derivada se aplana. Parece que es cero. Cuando termino de comprar, empiezo a ir a casa. Ahora aquí la pendiente de la tangente es negativa, porque estoy de regreso a casa. Ese día en particular, olvidé algo en el centro comercial, así que tuve que dar la vuelta y volver al centro comercial. En ese momento ya estaba muy tarde, así que corrí a casa. Mi derivada es muy empinada aquí; la pendiente de esta línea es muy pronunciada. YO’ Estoy conduciendo muy rápido porque llego muy tarde. Entonces, la derivada aquí es un número negativo muy grande.
Entonces, digamos que mi padre quiere saber exactamente qué tan rápido voy, y digamos que se acerca mucho a una parte de este mapa. Para saber exactamente qué tan rápido iba, dibuja una tangente en esta línea y encuentra la pendiente de esta tangente. En este caso, mi pendiente es dx / dt o el cambio en x dividido por el cambio en el tiempo. Ahora, cuando x pasó de 348 a 349, el cambio es 1. En este caso, es 1 pie. El cambio en el tiempo fue de 1 segundo, pasando de t = 1 a t = 2. Entonces, en este momento, viajaba a la friolera de 1 pie por segundo, que es 60 pies por minuto, que no es tan rápido.
Derivado de un solo destino
Así que eliminemos todos los números aquí y miremos un ejemplo de mi posición en función del tiempo. Y veamos qué puede deducir mi padre de este gráfico único. Este gráfico es bastante simple. Salgo de casa, llego al centro comercial, doy la vuelta y vuelvo a casa. Así que centrémonos en esta área donde me voy de casa. Me voy de casa. Como me voy de casa, sé que mi derivada va a ser positiva. Va a ser mayor que cero durante todo este tiempo en el que me voy de casa. Entonces aquí es donde x aumenta a medida que taumenta, pero seamos un poco más específicos. Digamos que en ese primer minuto aceleré muy rápido. He recorrido un largo camino en solo un minuto. En este caso, la pendiente de la tangente es bastante grande y positiva. Una vez que me alejo de casa, disminuyo un poco la velocidad. No me estoy moviendo, no estoy llegando tan lejos, en función del tiempo. En un minuto, tal vez recorra la mitad de la distancia que recorrí antes. Aquí, la pendiente de la tangente no es tan empinada como cuando salí de casa; No me estoy moviendo tan rápido. Cuando me alejo aún más de casa, disminuyo aún más la velocidad. Así que aquí en un minuto, apenas me muevo. Mi derivada sigue siendo positiva, pero está bastante cerca de cero porque x no cambia mucho en función del tiempo.
Entonces, al volver a casa, es como lo mismo al revés, como si estuviera conduciendo hacia atrás. Ahora mi derivada va a ser negativa. Qué tan rápido voy determinará qué tan negativo es. ¿Es el valor pequeño pero negativo o grande pero negativo? Si es pequeño pero negativo, retrocedo lentamente. Y si es grande y negativo, retrocedo muy rápido. Cuando salgo del centro comercial por primera vez, mi posición no cambia mucho en función del tiempo. Mi derivada es negativa, pero cercana a cero. A medida que me acerco a casa, acelero un poco. Entonces mi derivada sigue siendo negativa, es solo un poco más grande. Está más lejos de la x-eje. A medida que me acerco aún más a casa, me doy cuenta de que llego muy tarde y he acelerado mucho. Entonces, la magnitud de mi velocidad es muy grande, pero sigue siendo negativa porque todavía estoy conduciendo hacia atrás para llegar a casa.
Pongamos todo esto junto, tomemos nuestra posición como una función del tiempo y usémosla para graficar nuestra velocidad, nuestra x`, en función del tiempo. Así que aquí, cuando nos vamos de casa, partimos con una velocidad realmente rápida, y positiva porque íbamos al centro comercial hacia adelante. Cuando llegamos al centro comercial, disminuimos la velocidad. Nuestra derivada disminuyó. Cuando llegamos al centro comercial, nos detuvimos un segundo. Nuestra derivada, aquí mismo, es en realidad igual a cero. La pendiente de la tangente aquí es cero. Luego comenzamos a regresar del centro comercial; empezamos a conducir hacia atrás. Al principio conducíamos lentamente. Nuestra pendiente era muy poco profunda, por lo que nuestra derivada fue negativa pero cercana a cero. Luego empezamos a acelerar, volviéndonos cada vez más negativos. Para cuando llegamos a casa, íbamos muy rápido, pero seguíamos retrocediendo. Entonces nuestra derivada está aquí abajo. Podemos conectar todos estos puntos y llegar a una aproximación para x“. Y se parece a esta línea recta que pasa por cero cuando nos detuvieron en el centro comercial.
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Reglas de derivación
Tomemos un segundo para hacer esto un poco más formal. Veamos x en función del tiempo . Cuando nuestra función x se hace más grande, nos vamos de casa. Tenemos una derivada positiva. La derivada x `va a ser mayor que cero. Si la función se hace más pequeña (estamos conduciendo hacia atrás aquí), tenemos una derivada negativa. Si nuestra función no cambia, la derivada será cero. Es como ese instante en el que estábamos en el centro comercial.
Derivados discontinuos
Me metí en un pequeño lío por mi última hazaña. Mi padre no me dejó salir de casa por un tiempo, pero cuando lo hizo, volví a ir al centro comercial. Y trazó mi posición en función del tiempo, y se veía así. Ahora, aquí cuando salí de la casa, mantuve una velocidad bastante constante. Así que durante todo este tiempo, la pendiente de la tangente, en todas partes aquí, fue la misma porque es una línea recta. Llegué al centro comercial y me quedé allí un rato, y luego volví a casa. Y nuevamente, tenía una línea recta entre el centro comercial y la casa.
¿Cómo se ve mi velocidad en función del tiempo? Bueno, de camino al centro comercial, mi velocidad era constante, por lo que x `era constante y era positivo porque me iba de casa. Cuando llegué al centro comercial, estacioné el auto y el auto no se movía. Así que todo el tiempo que estuve en el centro comercial, la velocidad del auto fue cero. Cuando regresé a casa, conduciendo hacia atrás, mi velocidad era negativa pero aún constante, porque nuevamente tengo una línea recta. Ahora, ¿qué sucede en estas intersecciones aquí? ¿Justo cuando aparqué y justo cuando salí del centro comercial? Bueno, en el lado izquierdo de estos puntos, cuando miro x en función de t, Tengo una velocidad, una tangente aquí, que es positiva. Justo en el lado derecho de ese punto, tengo una tangente que es igual a cero. Entonces, la tangente en ese punto realmente depende de qué lado esté mirando: el lado izquierdo o el lado derecho. Debido a que esos dos valores son diferentes, no hay tangente en ese punto en particular. No hay derivada. La derivada es discontinua. Entonces, en mi gráfica de la derivada en función del tiempo, voy a hacer un hueco. Lo mismo pasa cuando salgo del centro comercial. En el lado izquierdo, tengo velocidad cero; mi coche no se mueve. En el lado derecho, estoy acelerando a casa, por lo que mi derivada es negativa. Pero en ese punto exactamente, no hay tangente; la derivada es discontinua.
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Un punto más con este gráfico. De camino al centro comercial, conducía de manera relativamente razonable. No conducía demasiado rápido; No conducía demasiado lento. La pendiente aquí podría ser algo así como 1. En el camino a casa desde el centro comercial, la pendiente es mucho más empinada y negativa. Voy a reflejar esto en la derivada como una función de la gráfica t escribiendo mi velocidad en el camino al centro comercial como si estuviera más cerca de este eje t que cuando salía del centro comercial. Dado que mi velocidad era mucho más rápida, estaba más lejos del eje.
Aplicaciones a otras funciones
Puede usar estos principios para otras funciones, como y = f (x) . Consideremos mis reglas e intentemos escribir y `en función de x . Entonces, primero, voy a notar dónde está aumentando la función, dónde voy a tener una derivada positiva, y sombrearé esas regiones en y `. Luego, voy a notar dónde está disminuyendo la función, dónde mi derivada será negativa, y los sombrearé en mi gráfico y `. Estos dos puntos donde la función es constante solo por un instante, los voy a marcar en mi gráfica y`, como puntos rojos. Entonces, en estos casos, tengo una derivada cero. Finalmente, voy a hacer una nota especial sobre esta última parte aquí, donde mi función está disminuyendo, pero está disminuyendo en línea recta. Entonces sé que mi derivada será constante, pero negativa.
Así lo hace y `mirada al igual que en estas regiones? Bueno, veamos esta primera región en el lado izquierdo. Aquí mi pendiente comienza bastante empinada y, a medida que avanzo hacia este punto rojo, la pendiente en realidad disminuye; se acerca a cero. Voy a imitar eso en mi gráfico y `donde mi derivada comienza muy grande, se vuelve más pequeña y se acerca a cero. En esta región media, la función disminuye todo el tiempo, pero comienza a disminuir a un ritmo muy superficial; la pendiente aquí es muy poco profunda. Luego se vuelve empinado y luego en realidad se vuelve más superficial nuevamente. Así que voy a intentar poner eso en mi gráfico. Comienza cerca de cero, muy poco profundo, se vuelve grande y luego se vuelve poco profundo nuevamente, pero todo negativo.
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Muy bien, entonces tengo mi derivada cero donde mi función es constante. Luego tengo esta región donde la función está aumentando. Entonces, en el lado izquierdo, la pendiente es muy poco profunda; está muy cerca de cero. Luego aumenta, y cuando llego a este punto, la pendiente es bastante empinada. Pongamos eso en nuestro gráfico y `. Ahora, en este punto aquí, la derivada en el lado izquierdo del punto y el lado derecho del punto no son lo mismo. En este punto aquí, la función es discontinua, pero también lo es la derivada, y“. Así que voy a poner un círculo en mi gráfico. Ahora mi función es una línea recta para esta parte del gráfico y está disminuyendo. Entonces la derivada es negativa. Sé que mi derivada será negativa, pero tendrá un valor constante. Dejémoslo aquí. Puede que no sea exactamente correcto, pero transmite la idea. Y asegurémonos de poner el círculo, el círculo abierto, en el lado izquierdo porque sé que no hay derivada en este punto donde tuve mi discontinuidad.
Resumen de la lección
Revisemos. Puede encontrar d / dt de x , de cualquier x . Esto es especialmente cierto si solo tiene el gráfico y no la función en sí. Si tiene la gráfica, es posible que no pueda obtener los números correctos, pero al menos puede tener una idea de lo que está sucediendo. Para hacer eso, debes tener en cuenta tres cosas: 1.) Si la función aumenta, la derivada será positiva. Esto es como cuando conducía hacia el centro comercial. 2.) Si la función es decreciente, la derivada será negativa. Como cuando conducía hacia atrás desde el centro comercial, en casa. 3.) Si la función es constante, la derivada será cero. Cuando mi coche estaba aparcado, no me movía; mi velocidad era cero.
Las otras dos cosas que quizás quieras tener en cuenta son que las líneas rectas te dan derivadas constantes. Cuando vaya a 60 millas por hora durante exactamente 10 minutos, su derivada será 60 durante esos 10 minutos. Finalmente, la derivada no siempre es continua. Si la pendiente en el lado izquierdo del punto y la pendiente en el lado derecho del punto no son iguales, entonces su derivada no existe.