Graficar seno y coseno

Publicado el 30 octubre, 2020

Hacer la ola

Hay todo tipo de olas: olas del océano, olas de estadio, microondas, olas reina. ¿Qué es una ola?

Piense en una ola de estadio. Esto es cuando todos en un estadio, a veces decenas de miles de personas, están tan cautivados colectivamente con cualquier juego que esté sucediendo que deciden dejar de prestar atención y hacer esta extraña alegría. Parece suceder bastante en los juegos de béisbol. No es que el béisbol sea aburrido. Parece que estoy de acuerdo con muchos equipos perdedores. Quizás eso es todo …

De todos modos, ¿qué pasa cuando haces la ola? Estás sentado, luego te paras y lanzas los brazos al aire. Luego te sientas y esperas. Luego vuelve a suceder. Si todo sale según lo planeado, hay una ola que se mueve por el estadio. ¿Una ola que se mueve en círculo? ¿O es un círculo que se mueve en una ola? De cualquier manera, esto es muy parecido a lo que sucede con las ondas seno y coseno.

El círculo de la unidad

Empecemos por nuestro estadio. Este es el círculo unitario . Es un círculo con un radio de 1 y un centro en el origen, o (0,0). No es un mal lugar para ver un juego, ¿verdad?

Cuando dibujamos una línea de radio como a continuación, luego agregamos una línea al eje x , tenemos un triángulo rectángulo. Si se supone que esto es un diamante de béisbol, lo estamos haciendo mal. Pero de todos modos, dado que nuestro radio es 1, el seno del ángulo theta es la longitud vertical sobre 1, o solo la longitud vertical. El coseno de theta es solo el lado horizontal sobre 1, entonces, nuevamente, solo la longitud horizontal.


Círculo unitario con triángulo rectángulo.
círculo unitario con triángulo rectángulo

Entonces, el punto amarillo, donde el radio golpea el círculo, es (cos theta, sin theta). Eso es lo mejor del círculo unitario. Se necesita seno y el coseno y los vuelve a X y Y coordenadas.

La onda sinusoidal

Entonces, ese es nuestro estadio, tal como es. Ahora, comencemos la ola. Estoy bastante seguro de que la ola la inician personas que discuten sobre trigonometría.

Lo que vamos a graficar es y = sin x . Usaremos el círculo unitario como punto de referencia. Entonces, estamos usando seno como una función, desenmarañándolo del círculo unitario. Para empezar, cuando x = 0, ¿qué es el seno? En nuestro círculo unitario, es una línea plana, por lo que es 0. Pongamos (0,0) en un nuevo gráfico (el gráfico final se ve a continuación).

Para nuestro eje x , usaremos radianes. Cuando llegamos a pi / 4, son 45 grados, ¡qué bonito triángulo! ¿Cuál es el seno de 45 grados? Aproximadamente 0,7. Entonces, nuestra onda se extiende desde (0,0) más allá de 0,7. ¿Ves cómo crece la línea del seno en nuestro círculo unitario? Ahora bien, ¿qué sucede a 90 grados o pi / 2? Bueno, y = 1. También es lo más alto que llega a la línea sinusoidal en nuestro círculo unitario.

Luego pasamos al cuadrante II y los valores de y comienzan a hacerse más pequeños. Entonces, a medida que graficamos nuestra onda, comenzamos a caer. En el cuadrante III, caemos por debajo de cero. Entonces, ¿qué hace nuestra ola? También cae por debajo de cero. Lo más bajo que llega es a 270 grados, que es 3pi / 2. Entonces, esa es la parte inferior de nuestra ola.

A medida que ingresamos al cuadrante IV del círculo unitario, comenzamos a regresar hacia cero. Entonces, nuestra ola se curva hacia arriba.

Para cuando completamos un círculo completo, a 2pi, hemos completado una onda completa. Si seguimos, bueno, la ola simplemente continúa. Se apaga cuando los fanáticos pierden interés o el juego se vuelve emocionante. Mientras dure, lo llamamos onda sinusoidal . Mira cómo sigue el círculo unitario, subiendo y bajando a medida que los valores de y suben y bajan.


La onda sinusoidal
onda sinusoidal y gráfico

La onda coseno

Ahora, no todas las olas de los estadios son iguales. Tu ola de béisbol de Grandes Ligas es muy diferente de tu ola de ligas menores. Incluso los estadios de tamaño comparable tienen olas diferentes. Lo mismo ocurre con trig. Está el seno y luego el coseno. Veamos y = cos x .

Cuando x es 0 en nuestro círculo unitario, ¿qué es el coseno? 1 (gráfico final que se ve a continuación). Recuerde, el coseno es el lado adyacente de nuestro triángulo. A 0 grados, no hay mucho triángulo, pero el coseno 0 sigue siendo 1. Entonces, en lugar de comenzar en (0,0) como la onda sinusoidal, la onda del coseno comienza en (1,0).

¿Qué pasa después? Saltemos a 45 grados. El coseno 45 es aproximadamente 0,7. Entonces, va hacia abajo a medida que la línea horizontal se acorta en relación con el eje y . Llega a cero en el eje. Eso es pi / 2, o 90 grados. A medida que avanzamos hacia el cuadrante II, estamos en territorio negativo.

El coseno alcanza su mayor negativo cuando golpea el eje x en nuestro círculo unitario de abajo, a 180 grados, o pi. Luego volvemos a subir. Al igual que con la onda sinusoidal, completamos una onda completa cuando llegamos a 2pi, cuando volvemos a 1.


La onda coseno
onda coseno y gráfica

Período

Hicimos grandes olas. Hay pocas cosas mejores que la sensación de satisfacción que se obtiene al apartar la mente de todo un estadio del equipo local perdedor. Pero cuando hayas terminado la ola y tu equipo todavía esté perdiendo, puedes pasar el tiempo pensando en los detalles de la ola que creaste.

Hay algunos términos clave que debe conocer. Primero, recuerde cuánto tiempo le toma al gráfico completar un ciclo completo antes de que se repita. Empezamos en 0 y volvemos a donde empezamos, ¿cuándo? 2pi. A eso lo llamamos el período . Eso es una revolución alrededor del círculo unitario, o el tiempo que tarda la onda en completar un ciclo completo. En un estadio, un período es el tiempo que tarda la ola en recorrer el estadio y regresar a usted.

También podría pensar en ello como un período en la escuela. Es la duración de una clase. Cuando suena la campana y termina una clase, comienza otra y lo vuelves a hacer. Un período en una onda sinusoidal o coseno es el mismo.

Amplitud

Luego está la amplitud . Esa es la distancia máxima que recorre la ola desde 0. Es como la distancia entre estar sentado y estar de pie con los brazos en el aire. En nuestras ondas seno y coseno, nuestra amplitud es 1.

Tenga cuidado de no contar la distancia de pico a pico. La amplitud se limita a la distancia positiva. Piense en ello como un amplificador de guitarra. ¿Cómo funciona el control de volumen? Simplemente va de 0 a cierto número. No puede ser negativo. Tal vez vaya a 10, o tal vez tenga uno que vaya a 11. Pero una vez que lo devuelva a 0, no puede ir a -11. Nuevamente, para nuestras ondas, la amplitud es 1.

Resumen de la lección

En resumen, comenzamos mirando el círculo unitario , donde definimos el seno y el coseno en función de un triángulo formado con una línea de radio.

Luego usamos el círculo unitario para crear la onda sinusoidal en otro gráfico. Esta es la gráfica de y = sin x . Luego miramos la onda coseno, que es la gráfica de y = cos x .

Finalmente, definimos dos términos clave relacionados con estos gráficos. Hay un período , que es el tiempo que tarda la onda en completar un ciclo completo; y luego está la amplitud , que es cuánto se desvía la onda de 0.

Entonces, la próxima vez que te encuentres haciendo la ola, recuerda que estás haciendo matemáticas. ¿Podemos incorporar la palabra ‘trigonometría’ en ‘Llévame al juego de pelota’?

Los resultados del aprendizaje

Estudiar esta lección podría prepararlo para:

  • Usa un círculo unitario
  • Grafica ondas seno y coseno
  • Calcular período y amplitud

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