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Hipotenusa: definición y fórmula

Publicado el 23 septiembre, 2020

¿Qué es una hipotenusa?

En geometría, una hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo. También es el lado opuesto al ángulo recto. La palabra hipotenusa significa ‘longitud por debajo’ o ‘estiramiento por debajo’. Se pensaba que Platón lo utilizó más temprano aproximadamente en el año 400 a. C.

Usos matemáticos

La hipotenusa ocupa un lugar destacado en muchas aplicaciones tanto en geometría como en trigonometría. El que la mayoría de la gente conoce es el Teorema de Pitágoras. La longitud de la hipotenusa se encuentra usando el Teórico de Pitágoras, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Veamos un ejemplo.

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Enchufe los valores de una y b en el Teorema de Pitágoras.

10 ^ 2 + 12 ^ 2 = c ^ 2

Luego, resuelve.

100 + 144 = c ^ 2

244 = c ^ 2

c = √ (244)

c = 15,6 pies

El teorema también se puede usar no solo para encontrar la longitud de cada lado cuando se conocen la hipotenusa y un lado. También puedes encontrar las medidas de los ángulos de un triángulo si conoces la longitud de la hipotenusa y al menos otro lado del triángulo. O puede encontrar la longitud de un lado si conoce la medida del ángulo y al menos el otro lado.

El mnemónico SOHCAHTOA es útil para recordar qué va con qué.

  • SOH = el seno de un ángulo es igual al lado opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa
  • CAH = el coseno de un ángulo es igual al lado adyacente al ángulo dividido por la hipotenusa
  • TOA = la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto al ángulo dividido por el lado adyacente al ángulo

Con estas propiedades, puede resolver casi cualquier problema relacionado con encontrar la longitud de un lado o la medida del ángulo de un triángulo rectángulo. Veamos un ejemplo. Encuentra x en este triángulo:

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Como conocemos el ángulo adyacente al lado xy la hipotenusa, la ecuación que debemos usar es CAH, ya que usa el lado adyacente y la hipotenusa. Por tanto, nuestra ecuación será cos60 = x / 13. El cos de 60 es 0.5, lo que hace que la ecuación: 0.5 = x / 13. Resuelva para x para obtener x = (0.5) * (13) = 6.5. Entonces, la longitud del lado x es 6.5 cm.

Aplicaciones prácticas

El uso de triángulos rectángulos y la hipotenusa en cálculos trigonométricos tiene muchas aplicaciones prácticas. Estas ecuaciones son útiles para determinar la altura de elementos grandes y para encontrar distancias y longitudes. La física, la oceanografía, la ingeniería, la arquitectura y otras áreas utilizan la hipotenusa en diferentes cálculos. A continuación, se muestran algunos problemas de ejemplo que ofrecen escenarios del mundo real.

Una escalera de 10 metros de largo descansa contra una pared vertical de modo que la distancia entre el pie de la escalera y la pared es de 2 metros. Encuentre la altura sobre el suelo a la que el extremo superior de la escalera toca la pared.

Para encontrar la altura de la pared, puedes usar el Teorema de Pitágoras: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, donde c es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la escalera y la pared. Tu ecuación sería:

2 ^ 2 + b ^ 2 = 10 ^ 2

4 + b ^ 2 = 100

Resuelve para by obtienes

b ^ 2 = 96

b = 9,8 metros

Está construyendo una rampa para que las personas en sillas de ruedas puedan acceder a un edificio. Si la rampa debe tener una altura de 8 pies y el ángulo de la rampa debe ser de 5 grados, ¿qué longitud debe tener la rampa?

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Para este problema, conoce un ángulo y el lado opuesto, por lo que el seno es la relación adecuada a utilizar.

Tu ecuación sería:

sin 5 = 8 / x

0.087 = 8 / x

x = 8 / 0.087

x = 91,8 pies

Sé que parece demasiado largo, pero la inclinación legal real para una rampa para discapacitados es de 5 grados, así que para subir 8 pies, esa es la longitud que tendría que ser.

Resumen de la lección

La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo. También es el lado opuesto al ángulo recto. Es útil en diferentes situaciones que implican la necesidad de encontrar la distancia o la medida de un ángulo. Hay muchas aplicaciones prácticas donde la necesidad de utilizar un triángulo rectángulo y la hipotenusa es importante.

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