La regla de la probabilidad de la multiplicación: definición y ejemplos

Publicado el 8 octubre, 2020

La regla de la multiplicación

Steve está haciendo campaña para ser un comisionado del condado en la junta de su condado. Su amigo, Gary, es profesor en la universidad local y ha aceptado ayudar a Steve con su campaña. Gary y Steve están armando botones de campaña para un mitin que ambos organizarán en unos días. Hay 30 botones en total, 13 botones son azules y 17 botones son rojos. Gary pone todos los botones en una bolsa. Steve y Gary quieren usar botones rojos para el rally. ¿Cuál es la probabilidad de que Gary saque dos botones rojos seguidos de la bolsa sin mirar? Para resolver este problema, debe comprender la regla de probabilidad de la multiplicación. La regla de la probabilidad de la multiplicación significa encontrar la probabilidad de la intersección de dos eventos, multiplicar las dos probabilidades.

Cuando desea saber la probabilidad de que ocurran dos eventos, eso se llama la intersección de los dos eventos. La regla de probabilidad de la multiplicación se usa para encontrar la intersección de dos conjuntos diferentes de eventos, llamados eventos independientes y dependientes. Los eventos independientes son cuando la probabilidad de un evento no se ve afectada por un evento anterior. Un evento dependiente es cuando un evento influye en el resultado de otro evento en un escenario de probabilidad. Para encontrar la intersección de dos eventos, ya sean independientes o dependientes, multiplique las dos probabilidades.

El escenario del botón de Steve y Gary es un ejemplo de eventos dependientes. Este es un problema un poco más complicado, así que comencemos primero con los eventos independientes.

Multiplicando eventos independientes

Gary quiere ayudar a Steven a investigar las tendencias de votación en cada una de las ciudades del condado. Steve cubre las dos ciudades bastante bien en su campaña. Steve habla con la gente del pueblo sobre sus políticas. Distribuye volantes y coloca carteles en los dos pueblos para difundir su candidatura. Después de hacer esto, Gary y Steve recopilan datos sobre los sentimientos de cada pueblo hacia Steve como candidato. Steve quiere saber la probabilidad de ganar dos pueblos del condado. Este es un ejemplo de eventos independientes, porque asumimos que los patrones de votación de una ciudad no afectan ni dependen de la otra ciudad.

En la Ciudad A, una de cada cuatro personas se sentía favorable hacia Steve como candidato. Steve tiene un 25% de posibilidades de ganar los votos de la Ciudad A.

En la Ciudad B, cinco de cada siete personas se sentían favorables hacia Steve como candidato. Steve tiene un 71% de posibilidades de ganar los votos de Town B.

Steve le pregunta a Gary, ¿cuál es la probabilidad de ganar los votos en ambas ciudades? Para resolver esto, Gary usará la regla de multiplicación de la probabilidad y esta fórmula: P (A y B) = P (A) * P (B).

Esta es la regla de multiplicación para dos eventos independientes. Esta fórmula se lee: la intersección del evento A y el evento B es igual al evento A multiplicado por el evento B.

El evento A es la probabilidad de que la ciudad A vote por Steve y el evento B es la probabilidad de que la ciudad B vote por Steve. Para encontrar la probabilidad de que sucedan estos dos eventos, puede usar la regla de probabilidad de multiplicación simplemente multiplicando las dos probabilidades de esta manera: 1/4 * 5/7 = 5/28 o aproximadamente 18%.

Para encontrar la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes al mismo tiempo, simplemente multiplique las dos probabilidades. Recuerde, esta es la intersección de dos eventos independientes. ¡Esto no se ve bien para Steve! Con suerte, tendrá más suerte en los otros pueblos.

Multiplicar eventos dependientes

Volvamos a nuestro escenario de apertura. Hay 30 botones en total, 13 botones son azules y 17 botones son rojos. ¿Cuál es la probabilidad de que Gary saque dos botones rojos seguidos de la bolsa sin mirar? La primera vez que Gary saca un botón, tiene una probabilidad de 17/30, o aproximadamente el 57%. El numerador en este ejercicio de probabilidad es 17, el número total de botones rojos. El denominador en este ejercicio de probabilidad es 30, el número total de botones.

Si no vuelve a poner este botón en la bolsa, entonces la segunda probabilidad de que Gary saque un botón rojo de la bolsa es 16/29, o aproximadamente el 55%. El numerador en este ejercicio de probabilidad es 16, el número total de botones rojos que quedan en la bolsa. El denominador en este ejercicio de probabilidad es 29, el número total de botones restantes. Para encontrar la intersección de estos dos eventos usando la regla de multiplicación de la probabilidad, simplemente multiplique las dos probabilidades juntas: 17/30 * 16/29 = .308 o aproximadamente 31%.

Esto significa que Gary tiene muchas posibilidades de sacar dos botones rojos de forma independiente, ¡pero es poco probable que ambos sucedan juntos!

Problemas de práctica

Ahora que comprende la regla de la probabilidad de la multiplicación, practiquemos con algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Lisa está horneando galletas. Hornea un lote de una docena de galletas con mantequilla de maní y chispas de chocolate y un lote de una docena de galletas con solo chispas de chocolate. Cuando termina, coloca ambos lotes en una bandeja juntos. ¿Cuál es la probabilidad de que alguien seleccione dos galletas con chispas de chocolate seguidas?

La respuesta correcta es aproximadamente el 24%. La segunda selección de cookies depende de la primera selección de cookies, ya que la persona no devolverá las cookies. Por lo tanto, la primera selección de cookies cambia la probabilidad de la segunda selección de cookies.

La primera probabilidad será 12/24 o 50%. El primer número es el número de cookies simples y el segundo número es el número total de cookies.

La segunda probabilidad es 11/23. El primer número es el número de cookies simples, menos el primero que se seleccionó. El segundo número es el número total de cookies, menos la primera cookie que se seleccionó.

Ahora multiplica las dos probabilidades para encontrar la intersección usando esta fórmula: 12/24 * 11/23 = 24%.

Ejemplo 2

Lisa, Gary y Steve están jugando un juego en su reunión nocturna de juegos semanal. Primero deciden jugar Pretzel, un juego que tiene cuadrados de diferentes colores en un tapete donde cada jugador coloca una mano o un pie en un color diferente según la ruleta. Hay dos hilanderos diferentes, uno está etiquetado como mano derecha, mano izquierda, pie derecho y pie izquierdo. La segunda ruleta está etiquetada con colores; hay cuatro cuadrados morados, tres cuadrados azules, cuatro cuadrados rosas y tres cuadrados naranjas dispuestos al azar en la ruleta. ¿Cuál es la probabilidad de que Gary obtenga un cuadrado morado en la mano izquierda?

La respuesta correcta es el siete por ciento. Los dos hilanderos son hilanderos separados y no se afectan entre sí. Por tanto, tenemos dos eventos independientes. Podemos determinar la probabilidad de la intersección de estos eventos independientes usando esta fórmula: P (A y B) = P (A) * P (B).

La probabilidad de obtener la mano izquierda es una de cuatro, ya que hay cuatro selecciones en la ruleta y solo una es la mano izquierda. La probabilidad de obtener un cuadrado morado en la segunda ruleta es cuatro de 14, ya que hay cuatro cuadrados morados con un total de 14 cuadrados en la ruleta. Para encontrar la intersección de estos eventos independientes, simplemente multiplique los dos eventos de esta manera: 1/4 * 4/14 = .07 o 7%.

Resumen de la lección

A menudo tendrás que encontrar la intersección de dos eventos en probabilidad. La intersección de los dos eventos se puede encontrar usando la regla de probabilidad de multiplicación , que significa encontrar la probabilidad de la intersección de dos eventos, multiplicar las dos probabilidades. La forma en que utilice esta regla depende del tipo de eventos con los que esté trabajando, independientes o dependientes. Los eventos independientes son cuando la probabilidad de un evento no se ve afectada por un evento anterior. Un evento dependiente es cuando un evento influye en el resultado de otro evento en un escenario de probabilidad. Puede usar la regla de la multiplicación con muchos ejercicios de probabilidad, ¡solo asegúrese de comprender primero los tipos de eventos con los que está trabajando!

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, podrá:

  • Enuncie la regla de multiplicación de la probabilidad.
  • Calcular la probabilidad de eventos independientes y dependientes

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