Momento de inercia de un semicírculo

Momento de inercia

El momento de inercia de un objeto es una medida de su resistencia a girar alrededor de un eje. Piense en un disco sólido y un aro rodando por una rampa. Ambos tienen la misma masa y el mismo radio, y giran sobre ejes perpendiculares a sus centros. El objeto que tenga la menor resistencia a ser girado llegará primero al fondo. Cual sera?

No se preocupe, la respuesta será revelada. Pero primero, debemos analizar cómo derivar el momento de inercia de un semicírculo alrededor de un radio perpendicular a su superficie, como se muestra aquí:

Diagrama 1. El eje sale de la pantalla en el punto C

Derivación

El esquema de nuestra derivación es:

1. Defina una pequeña franja de masa con ancho diferencial.
2. Escribe una expresión para la densidad de área para todo el semicírculo y las pequeñas franjas de anchos diferenciales.
3. Suma todas las tiras individuales usando Cálculo integral.

Entonces, trabajemos nuestro camino, comenzando con el Paso 1. Comenzamos por definir una pequeña franja de masa ( dm ) con ancho diferencial ( dr ) como se muestra aquí:

Diagrama 2. La pequeña franja se muestra en negro.

Ahora en el paso 2. Necesitamos una expresión para la densidad del área , que es la masa dividida por el área. Le damos a la densidad de área la letra griega sigma, σ. La densidad es una propiedad intensiva , lo que significa que no depende de la cantidad de material. Siempre que la masa sea uniforme, su densidad de área es la misma ya sea que tenga el semicírculo completo (macroescala) o una pequeña franja de ancho diferencial (microescala).

La densidad del área de escala macro se da en esta ecuación:

Ecuación 1. La ecuación resaltada en amarillo es la densidad del área de macroescala.

La densidad de área a microescala es la misma ecuación general, masa dividida por área, pero la masa es la masa diminuta de la tira, dm , y el área es la forma rectangular de la tira que se muestra aquí:

Diagrama 3

Esta tira es la misma tira en el semicírculo, excepto que la hemos sacado del círculo y la hemos enderezado para mostrar cómo obtenemos el área pequeña que necesitamos. La densidad de área a microescala se da en esta ecuación:

Ecuación 2. La ecuación resaltada en amarillo es la densidad de área a microescala.

Observe que en las ecuaciones de densidad de área de escala macro y micro, σ está presente.

Ahora, en el paso 3. El paso 3 es el paso más largo porque implica la suma del momento de inercia de cada tira usando el cálculo integral. Aquí se muestra la ecuación para el momento de inercia de un objeto extendido:

Ecuación 3

Hay un problema importante con esta ecuación. La variable r no coincide con la masa diferencial dm . Tenemos que obtener dm en términos de dr , y aquí es donde entra en juego la ecuación de densidad de área. Resolvamos nuestra segunda ecuación para dm .

Ahora podemos sustituir dm por σπrdr en nuestra tercera ecuación, lo que nos dará esta nueva ecuación:

Ecuación 4. La ecuación resaltada en amarillo está lista para la integración porque la única variable es r y coincide con dr.

El proceso de integración es el siguiente. Integraremos entre 0 y el radio completo del semicírculo R. Dará como resultado esta ecuación:

Ecuación 5. La ecuación resaltada en amarillo es el resultado de la integración entre 0 y el radio R.

Volvemos al círculo completo a la densidad de área en la primera ecuación sustituyendo (2M / πR 2 ) por σ. Esto nos dará la siguiente ecuación:

Ecuación 6

Y ahí está, resaltado en verde está la ecuación del momento de inercia para un semicírculo que gira alrededor de un eje perpendicular a su superficie en su radio. Lo realmente interesante de esto es que la ecuación del momento de inercia para un círculo completo es la misma ecuación.

¿Recuerdas la pregunta inicial que te hice? ¿Qué forma ganó la carrera por la rampa, el disco o el aro con la misma masa y radio? La respuesta es: el disco. Cuanta más masa se encuentre más cerca del eje, más fácil será girar, lo que hace que se acelere por la rampa más rápido que el aro. Dado que un círculo completo y un semicírculo tienen la misma ecuación de momento de inercia, su resistencia a la rotación es la misma si sus ejes pasan por el mismo punto y sus masas y radios son los mismos.

Resumen de la lección

Para repasar, el momento de inercia es la medida de la resistencia de un objeto a la rotación. La forma con la que trabajamos fue un semicírculo con un eje perpendicular a su superficie a través de su radio. Dividimos la derivación en tres pasos principales.

El paso 1 implicó definir una tira delgada del semicírculo con una masa diminuta dm y un espesor diferencial dr .

El paso 2 se ocupó de determinar la densidad del área , que es una propiedad intensiva , lo que significa que el tamaño del material es irrelevante. La densidad de área se designa como:

El paso 3 se ocupó de reorganizar la ecuación estándar del momento de inercia para objetos extendidos dada por:

Integrando de R = 0 a R = R y sustituyendo la expresión para σ

nos da el momento de inercia de nuestro semicírculo alrededor de un eje perpendicular a su superficie a través de su radio.