Octaedro: definición y propiedades

Definición de un octaedro

El octaedro es uno de los cinco sólidos del conjunto de los sólidos platónicos y el que tiene ocho caras. Los sólidos platónicos reciben su nombre de Platón, no porque los haya descubierto, sino porque los menciona a menudo en sus escritos. Asignó a cada sólido una representación de los elementos naturales. El octaedro era el símbolo del aire. Los otros cuatro sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo, el dodecaedro y el icosaedro.

Partes de un octaedro

El octaedro es un objeto tridimensional y se compone de partes de una y dos dimensiones. Estas partes tienen nombres especiales.

Base

La base de un octaedro es un cuadrado. Si imaginas un octaedro como dos pirámides cuadradas congruentes cuyas bases se tocan, entonces la base del octaedro es el cuadrado entre las dos pirámides.

Cara

Un octaedro tiene ocho caras, todas en forma de triángulos equiláteros. Estas ocho caras son donde el sólido recibe su nombre. ‘Octa’ significa ocho. Estas caras forman el área superficial del octaedro. El cuadrado que es la base del octaedro no forma parte del área superficial; por lo tanto, la base no es también una cara.

Borde

Cuando dos caras se tocan, el segmento de línea que se forma se llama borde. Un octaedro tiene 12 aristas.

Vértice

Cuando dos aristas se cruzan, forman un vértice (el plural es vértices). El octaedro tiene seis vértices. Cada vértice se forma cuando cuatro aristas se cruzan.

Distancia de vértice a vértice

Observa cómo cada vértice tiene cuatro aristas que lo tocan. Esos bordes conectan el vértice con cuatro de los otros cinco vértices. Hay un vértice llamado vértice no adyacente que no está conectado al vértice por un borde. La distancia de cualquier vértice a su vértice no adyacente siempre será la longitud de cualquier arista por la raíz cuadrada de dos (1.414). La línea formada al crear el vértice a un vértice no adyacente es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Dos de los bordes forman los catetos del triángulo rectángulo. Como se ha creado un triángulo rectángulo, puedes usar el Teorema de Pitágoras a ^2 + b ^2 = c ^2 donde a y b son catetos y c es la hipotenusa para encontrar la distancia entre cualquier vértice y su vértice no adyacente. La arista tiene x de longitud. x ^2 + x ^2 = c ^2, que se simplifica a 2 x ^2 = c ^2. Raíz cuadrada en ambos lados y tienes c = x (raíz cuadrada de 2).

Hallar el área de la superficie

Dado que la superficie de un octaedro consta de ocho triángulos congruentes, el área de la superficie de un octaedro sería el área de uno de los triángulos por ocho. La fórmula es Área de superficie = 4 bh, donde b es la longitud de la base del triángulo yh es la longitud de la altura del triángulo. Para encontrar el área de la superficie de un octaedro, necesitará saber la longitud de la base del triángulo y la altura. En este octaedro, la base es de 12 cm y la altura es de 10,4 cm. La fórmula para el área de superficie es 4 bh. Si sustituimos b por 12 y h por 10,4, tenemos SA = 4(12)(10,4) = 499,2. El área siempre se mide en unidades cuadradas, por lo que el área de superficie de este octaedro es 499,2 cm cuadrados.

Encontrar el volumen

Un octaedro consta de dos pirámides cuadradas. Para encontrar el volumen de un octaedro, encuentra el volumen de una de las pirámides y multiplícalo por dos. El volumen de una pirámide es b ^2( h )/3, donde b es la longitud de un lado del cuadrado que forma la base y h es la altura de la pirámide. La fórmula para el volumen de un octaedro sería 2 b ^2( h ) / 3.

Encuentra el volumen

Para encontrar el volumen de un octaedro, necesitas saber la longitud de la base cuadrada y la altura de la pirámide. En este ejemplo, la longitud de la base cuadrada es de 12 cm (igual que la base del triángulo) y la altura de la pirámide es de 8,5 cm. La fórmula para el volumen de un octaedro es V =2 b ^2( h )/3. Por lo tanto, el volumen del octaedro es 2(144)(8,5) / 3 = 816. El volumen se mide en unidades cúbicas, por lo que el volumen de este octaedro es 816 cm cúbicos.

Resumen de la lección

Revisemos. El octaedro es uno de los cinco sólidos del conjunto de los sólidos platónicos y el que tiene ocho caras. Los sólidos platónicos son formas sólidas que el filósofo Platón asignó a cada una de ellas como representación de los elementos naturales. El octaedro se crea conectando dos pirámides cuadradas. Tiene ocho caras, seis vértices y doce aristas. El área de superficie se puede obtener usando la fórmula Área de superficie = 4 b h. La fórmula para el volumen es V = b ^2( h ) / 3.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador