Problemas de práctica del teorema binomial

Pasos del teorema del binomio

Aunque el teorema del binomio es el atajo para elevar un binomio a una potencia, no siempre se siente así. Si se ha confundido al intentar usarlo, puede ayudar dividirlo en tres pasos.

Paso 1: Encuentra la fila correspondiente del Triángulo de Pascal para tu problema.

Paso 2: Escribe las potencias decrecientes del primer término, comenzando con tantas como tengamos en el problema.

Paso 3: Escribe las potencias crecientes del segundo término, comenzando con ninguna.

Descubrí que si trato de seguir todos estos pasos a la vez o en diferentes órdenes, olvido fácilmente dónde estaba o qué había hecho. Ahora siempre me apego a este orden y escribo un esqueleto para mi problema para realizar un seguimiento de los pasos que ya he realizado y los que aún debo hacer.

Usando el triángulo de Pascal en el ejemplo # 1

Ejemplo # 1 del teorema binomial

Así que sigamos adelante e intentemos ese proceso con un ejemplo; tal vez este ejemplo nos diga que usemos el teorema del binomio para expandir (4 x -2) ^ 5.

Bien, paso 1: ¿qué fila del triángulo de Pascal necesitamos?

Bueno, anotemos el triángulo en el lado de nuestro papel aquí, recordando agregar las dos entradas de arriba para obtener la de abajo. Puede recordar que tenemos que bajar la sexta fila (porque la primera fila es la fila cero), o puede continuar hasta que vea un 5 junto a uno de los 1. De cualquier manera, terminamos con las entradas 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Ahora vuelvo al problema y copio estos números. Esto es lo que yo llamo el «esqueleto» del problema. Me ayuda a mantener mi trabajo organizado y también evita que cometa un error tonto.

El paso 2 es comenzar a completar el esqueleto con poderes decrecientes del primer término. Debido a que el binomio originalmente se elevaba a la quinta potencia, comienzo con un 4 x ^ 5. El siguiente término obtiene 4 x ^ 4, el siguiente 4 x ^ 3, luego 4 x ^ 2, luego 4 x ^ 1, luego finalmente 4 x ^ 0, o básicamente no 4 x s en absoluto.

La expresión completa en el ejemplo # 1 antes de usar el orden de las operaciones para evaluarla

El paso 3 es hacer lo contrario con el segundo término. Comenzamos con cero -2, pero luego aumentamos gradualmente el número de ellos. Nuestro próximo término tiene -2 ^ 1, luego -2 ^ 2, luego al 3, al 4, y finalmente el último término tiene -2 ^ 5.

En este punto, nuestra expresión está esencialmente completa, pero para estar completamente terminada, debemos seguir el orden de las operaciones y primero evaluar los exponentes, luego multiplicar los números resultantes en cada término solo para simplificarlo.

El primer término realmente solo tiene un poder del que preocuparse, (4 x ) ^ 5. 4 ^ 5 = 1,024 y x ^ 5 es solo x ^ 5, entonces (4 x ) ^ 5 es solo 1,024 x ^ 5.

Nuevamente, solo tenemos una potencia de la que preocuparnos en el segundo término, por lo que la evaluamos de manera similar y cambiamos (5) ((4 x ) ^ 4) (- 2) a (5) (256 x ^ 4) (- 2) .

Nuestro tercer mandato tiene dos poderes con los que tener cuidado, pero el proceso sigue siendo básicamente el mismo. (4 x ) ^ 3 se convierte en 64 x ^ 3, mientras que -2 ^ 2 es 4. Continuar con este proceso de evaluar exponentes y reescribir los tres términos restantes haría que nuestra expansión completa se vea así.

Ahora es simplemente cuestión de multiplicar los números dentro de cada término. No hay nada que multiplicar excepto 1 en el primer término, por lo que básicamente permanece igual y se escribe como 1,024 x ^ 5.

Sin embargo, necesitamos multiplicar algunas cosas para el segundo período. 5, 256 y -2 están todos ahí, así que los multiplicamos y terminamos con -2,560 x ^ 4.

Continuar multiplicando y reescribiendo nos dará nuestra respuesta final como esta. Si bien puede ser bastante trabajo, una vez que aprendes el ritmo, ¡no es tan malo! Observe los coeficientes alternos positivos y negativos. Esto sucederá siempre que tenga un segundo término negativo, porque alterna de exponentes pares a impares. Los impares lo dejan negativo, pero los pares lo vuelven a cambiar a un número positivo.

La respuesta final en el ejemplo # 1

Ejemplo # 2 del teorema binomial – Hallar el término

Echemos un vistazo a otra pregunta práctica: ¿Cuál es el tercer término de la expansión ( x – (1 / x )) ^ 6 ? Si bien este terminará siendo menos trabajo, es más abstracto y en realidad puede parecer más difícil que el anterior.

No dejemos que la rareza se interponga en nuestro camino hacia nuestra rutina normal. Primero tenemos que averiguar cuál es la fila correspondiente del triángulo de Pascal. La sexta potencia en el problema me dice que encuentre la fila con un 6 después del 1, y parece que obtenemos 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Entonces copio esos números en mi papel como mi esqueleto .

Pero ahora deberíamos leer las instrucciones con atención y notar que solo pide el tercer término, que es el que tiene el 15 delante. Si bien probablemente sea una buena idea dejar el resto del esqueleto allí para ayudarnos a mantenernos organizados, no tenemos que preocuparnos por completar los otros términos, ¡lo que en realidad nos ahorrará un montón de trabajo!

Ahora puedo comenzar el paso 2 y escribir potencias decrecientes del primer término, x . Si estuviera completando todo, habría x ^ 6 en el primer término, luego una x ^ 5, y luego el término que nos preocupa tiene una x ^ 4. No me molestaré en completar el resto, porque no estamos muy preocupados por eso, y pasaré al paso 3: aumentar los poderes del segundo período. Habría cero 1 / x s en el primer término, uno de ellos en el segundo término, y el término que nos preocupa tiene (1 / x ) ^ 2.

El orden de las operaciones debe usarse para evaluar más a fondo esta expresión en el ejemplo n. ° 2

Ahora solo estamos evaluando exponentes y multiplicando cosas. Distribuir el 2 al 1 y la x me da 1 / ( x ^ 2) para esta parte de mi término, luego multiplicar todo junto me da 15 x ^ 4 / x ^ 2 como mi término. Luego, usar las propiedades exponenciales para restar el exponente dice que el tercer término de mi expansión sería simplemente 15 x ^ 2.

Resumen de la lección

Para repasar: La configuración del teorema del binomio consta de tres partes. Primero, encuentra la fila correspondiente del Triángulo de Pascal. Segundo, escribe potencias decrecientes del primer término. Tercero, escribe potencias crecientes del segundo término.

Dibujar el esqueleto primero y usarlo para organizar su trabajo ayuda a limitar los errores. Una vez que hayas completado el esqueleto, usa el orden de las operaciones para evaluar los exponentes y multiplica los números dentro de cada término. Si bien muchas preguntas solicitarán la expansión completa, algunas preguntas solo solicitarán un término, o tal vez incluso solo un coeficiente. Si ese es el caso, ¡solo tienes que preocuparte por una parte de la expansión!

Objetivos de la lección

Una vez que complete esta lección, podrá:

• Comprender los pasos necesarios para establecer el teorema del binomio.
• Aprenda cómo dibujar el esqueleto primero puede ayudarlo con los problemas del teorema binomial

Rodrigo Ricardo Editor y fundador