Revisión factorial
Una vez que descubra que factorial simplemente significa multiplicar el número con el que comienza, con cada número que sea más pequeño que él, es bastante fácil calcularlos. Esto es especialmente cierto una vez que descubres que la mayoría de las calculadoras tienen un botón factorial. Pero no siempre será el caso de que quieras multiplicar tu número por todos los números que son más pequeños que él.
Por ejemplo, en la lección factorial introductoria, ¡decidimos que el número de formas en que ocho nadadores podían terminar una carrera olímpica era 8! (ocho factorial). Había ocho personas que podían terminar en primer lugar, lo que significa que hay siete personas que podrían terminar en segundo lugar, seis podrían ser terceros, cinco podrían ser cuartos, y así sucesivamente. Y 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 nos dijo que había 40,320 formas diferentes en las que esas ocho personas podían terminar. Pero si, en cambio, solo estuviéramos interesados en cuántas formas de repartir el oro, la plata y el bronce (primero, segundo y tercero), eso implicaría que no nos importaba quién terminó cuarto o menos. Si no nos importa el cuarto o menos, y tachamos todos esos números del factorial, todo lo que nos queda es 8 * 7 * 6, que es 336.
Entonces, la pregunta es: ¿podríamos expresar 8 * 7 * 6 con factoriales? Quiero decir, es similar, ¿verdad? Todavía estamos multiplicando una lista de números consecutivos; es solo que tenemos un punto de parada diferente. No vamos a seguir multiplicando hasta que lleguemos a uno, nos detendremos en algún lugar del camino. Resulta que la respuesta a la pregunta ‘¿cómo puedo escribir 8 * 7 * 6 con factoriales?’ va a estar en fracciones.
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¡8 * 7 * 6 es en realidad lo mismo que 8! / 5 !. ¿Por qué? Bueno, tal vez si lo escribimos será un poco más claro. 8! en el numerador (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), 5! en el denominador (5 * 4 * 3 * 2 * 1), y debido a que solo tengo una multiplicación en el numerador y una división en el denominador (un 5 en la parte superior dividido por 5), se cancela. Un 4 en la parte superior, un 4 en la parte inferior se cancela, 3 y 3, 2 y 2, 1 y 1 se cancelan y los únicos números que nos quedan fueron el 8, el 7 y el 6 en el numerador. 8 * 7 * 6 = 336. Esto significa que la división de factoriales solo nos da cadenas de multiplicación abreviadas.
Ejemplos factoriales
Probemos rápidamente algunos ejemplos de esto. ¿Cómo expresaríamos 22 * 21 * 20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15? Bueno, quiero detenerme en el 15, lo que significa que necesito cancelar el 14 y menos. ¡Por lo tanto, solo ponemos 22! en la parte superior de la fracción y 14! En el fondo. También es bueno poder ir al otro lado. ¡Qué sería 99! / 94! ¿igual? Bueno, ¡el 94! en la parte inferior significa que el 94 y todos los números de abajo desaparecerían (cancelados), así que los únicos que me quedan son 99 * 98 * 97 * 96 * 95.
Como nota rápida, si bien la división de factoriales tiene este pequeño truco, no existe tal truco con la multiplicación. ¡Es fácil querer cumplir 5 años! * 3! en 15 !, pero eso no es cierto. Quizás escribirlo todo te muestre por qué esto no es cierto.
5! * 3! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 3 * 2 * 1, así que son bastantes números. ¡Pero, 15! es 15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1, que definitivamente son más números, un número mucho más grande, de lo que nos quedaba antes.
Estos dos hechos combinados nos permiten resolver problemas de ejemplo como el 7. / (¡5! * 3!). ¡Primero podemos usar el 5! en el denominador con el 7! en el numerador para decir que 5 y todos los números de abajo se cancelan con 5 y todos los números de abajo se cancelan en la parte superior. Entonces, ¡el 5! en el denominador desaparece y solo tengo 7 * 6 en el numerador. ¡Los 3! todavía está ahí colgando. 3! es 3 * 2 * 1 y eso es 6. Ahora que tengo un 6 en la parte superior y un 6 en la parte inferior, puedo cancelarlos y es igual a 7.
Fracciones factoriales y expresiones algebraicas
Ahora, está listo para el nivel final de problemas factoriales: combinar fracciones factoriales con expresiones algebraicas. ¡Simplifica ( n + 2)! / n !
Este tipo de problemas pueden ser intimidantes porque la falta de números hace que parezcan completamente diferentes, pero ese no es el caso. Todavía podemos usar exactamente la misma división de habilidades factoriales que acabamos de aprender para simplificar esta expresión factorial. Queremos pensar, ¿cuánto se cancelará y qué quedará? Bueno, la n ! en el denominador se puede reescribir como n * ( n – 1) * ( n – 2) * ( n – 3) * … para siempre o mientras tengamos que ir hasta que lleguemos a 1. Mientras que el ( n + 2) ! en la parte superior está ( n + 2) * ( n + 1) * n * ( n – 1) * ( n– 2) y de nuevo, una y otra vez mientras sea posible. Ahora, simplemente tenemos que cancelar cualquier cosa que esté en el numerador y en el denominador. Hay dos n s, hay dos ( n – 1) s, hay dos ( n – 2) s, y el resto de estas cadenas en la multiplicación serían exactamente iguales, por lo que todo se cancelaría. Las únicas dos cosas que nos quedarían son las dos cosas en el numerador: ( n + 2) y ( n + 1).
Resumen de la lección
Podemos acortar factoriales dividiendo por el factorial de todos los números que queremos cancelar. Y, si está multiplicando dos factoriales, no puede multiplicar los números antes de hacer los factoriales.
Objetivos de la lección
Después de completar esta lección, podrá acortar factoriales usando métodos de multiplicación y división.
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