Producto triple escalar: definición, fórmula y ejemplo

Un producto triple escalar

¿Qué pasa si ves vectores en todas partes? Bueno, tal vez no en todas partes. Pero, ¿qué pasa si una imagen de tres gatitos te recuerda a un producto especial de tres vectores?

Uno de esos productos se llama producto escalar triple. En esta lección, exploraremos esta combinación única de vectores.

Organización de los productos vectoriales

Las cantidades, como la masa y el volumen, son escalares . Un escalar tiene magnitud pero no dirección. Un vector , como la fuerza o la velocidad, tiene magnitud y dirección. Imagínese multiplicar tres vectores y obtener un escalar. Esto sucede en el producto triple escalar. Los gatitos de la foto están organizados como dos de un tipo y uno de otro. Esto es similar al producto escalar triple , donde tomamos un producto cruzado de dos de los tres vectores. Este producto cruzado nos da un nuevo vector. Luego tomamos el producto escalar de este nuevo vector con el vector restante. El resultado general es un escalar. Esto suena más complicado de lo que es. Lo llevaremos paso a paso. Ciertamente es más fácil que arrear gatitos.

El producto cruzado

Cuando tomamos el producto cruzado de dos vectores, ⃗ay ⃗b, obtenemos un nuevo vector. Para mostrar esto de una manera general, digamos que el vector ⃗a está escrito con componentes a x , a y y a z . De manera similar, el vector ⃗b se escribe con componentes b x , b y y b z . Los vectores unitarios i , j y k completan la descripción, como puede ver:

Una forma conveniente de calcular el producto cruzado es construir una matriz utilizando los componentes de los vectores. Entonces, el determinante de la matriz nos da el producto cruzado. Así es como construimos la matriz. La primera fila de la matriz tiene los vectores unitarios. La segunda fila contiene los componentes del vector ⃗a. Los componentes del vector ⃗b están en la tercera fila. Aquí está el producto cruzado de ⃗a y ⃗b que aparecen aquí:

Cuando expandimos este determinante, el producto cruzado resultante es este nuevo vector:

Ahora tomamos el producto escalar con el vector ⃗c. En un producto escalar , los componentes i de cada vector se multiplican. En nuestro caso general, la componente i del vector ⃗c es c x , y la componente i del producto cruzado es ( a y b z – a z b y ). Esto nos da el escalar c x ( a y b z – a z b y ). Hacemos lo mismo con las j componentes y las kcomponente. La suma de estos tres productos escalares nos da un escalar. Ahora tenemos el producto triple escalar. Parece la fórmula que aparece en su pantalla en este momento:

Se puede hacer una observación fascinante. El resultado que tenemos es el mismo que el determinante de la matriz cuyas filas son los componentes de los vectores ⃗c, ⃗a y ⃗b. Algunas cifras ayudarán a aclarar esta última idea. Por ejemplo, si los vectores son los que aparecen aquí, podemos aclarar el resultado que es el mismo que el determinante de la matriz cuyas filas son los componentes de los vectores que mencionamos antes.

¿Puedes leer los componentes del vector ⃗c? Si dijiste (1,1,4) estás absolutamente en lo cierto. El paréntesis es una forma conveniente de agrupar los componentes de un vector. ¿Qué hay de los componentes del vector ⃗a? Correcto. Los componentes del vector ⃗a son (2, 0, 0). Componentes de ⃗b? (-1, 3,0). Podemos calcular el producto escalar triple usando lo siguiente:

Vemos que finalmente es igual a 24. ¿Ves cómo se colocan los componentes de los vectores en la matriz? ¿Ves cómo el determinante da una respuesta escalar? ¿Sabes adónde se han ido los tres gatitos?

Algunos datos interesantes

Si repetimos el patrón de los vectores ⃗c, ⃗a y ⃗b, obtendríamos ⃗c ⃗a ⃗b ⃗c ⃗a ⃗b y así sucesivamente. Si comenzamos con cualquiera de los tres vectores manteniendo este orden, entonces mantendremos el orden cíclico igual. Para el producto escalar triple, ⃗c (⃗a x ⃗b) es igual a ⃗a (⃗b x ⃗c), que es igual a ⃗b (⃗c x ⃗a). El producto triple escalar equivale a multiplicar el área de la base por la altura. Esta es la receta para encontrar el volumen. De hecho, el valor absoluto del producto escalar triple es el volumen de la figura tridimensional definida por los vectores ⃗a, ⃗by ⃗c. Esta figura se llama paralelepípedo . Es una figura con tres conjuntos de caras paralelas iguales donde cada cara es un paralelogramo. La más simple de estas figuras es un cubo donde cada cara es un cuadrado. Tomamos el valor absoluto porque el volumen es una cantidad positiva y el producto cruzado podría ser positivo o negativo. Usando los tres vectores numéricos de nuestro ejemplo, aquí hay una imagen del paralelepípedo resultante:

Los tres vectores definen el paralelepípedo.

¿Ves cómo los tres vectores definen una esquina de la figura? Me pregunto qué haría falta para que tres gatitos se quedaran en un rincón.

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar las cosas que hemos aprendido en esta lección. Primero, debemos recordar que cantidades como la masa y el volumen son escalares , y un vector , como la fuerza o la velocidad, tiene magnitud y dirección. El producto triple escalar produce un escalar a partir de tres vectores. El producto escalar del primer vector con el producto cruzado del segundo y tercer vector producirá el escalar resultante. El determinante de una matriz hecha de los componentes de los tres vectores es una forma conveniente de calcular el producto escalar triple. Si se mantiene el orden cíclico de los tres vectores, el producto escalar triple se puede expresar de tres formas diferentes. El valor absoluto del producto escalar triple es igual al volumen delparalelepípedo formado por los tres vectores.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador