Propiedad asociativa de la multiplicación: definición y ejemplo

Introducción: PEMDAS

Estoy seguro de que ahora usted ha oído la expresión, ‘ P arrendamiento E xcuse M y D del oído Un unt S aliado’ para describir las reglas de orden de las operaciones. Este tonto mnemónico fue creado para ayudarnos a recordar hacer primero los paréntesis, luego los exponentes, la multiplicación y división de izquierda a derecha, y finalmente la suma y resta de izquierda a derecha.

En esta lección, será muy importante para nosotros mirar la primera parte de nuestro mnemónico, los paréntesis. Sabemos que cada vez que vemos un paréntesis en un problema, grita: «HAZME PRIMERO». Por lo tanto, es necesario tener en cuenta que podemos agregar paréntesis alrededor de cualquier parte de un problema para decirle a la gente que debe completarse primero independientemente de las operaciones dentro de ellos.

Ahora, probablemente se esté preguntando por qué acabamos de hablar sobre el orden de las operaciones cuando se supone que esta lección es sobre la propiedad asociativa de la multiplicación. Pero tenga paciencia conmigo y le prometo que verá en las próximas secciones por qué es importante para nosotros tener una comprensión clara de los paréntesis para comprender verdaderamente el uso de la propiedad asociativa de la multiplicación.

Definición y regla

La propiedad asociativa de la multiplicación establece que al realizar un problema de multiplicación con más de dos números, no importa qué números multiplica primero.

En otras palabras, ( a x b ) x c = a x ( b x c ).

Entonces, no importa dónde coloquemos nuestro paréntesis, aún obtendremos la misma respuesta. ¿Ves por qué hablamos de paréntesis al comienzo de esta lección?

Déjame adivinar. Probablemente esté empezando a preguntarse por qué necesita poner paréntesis en el problema, ¿verdad? ¿Por qué no trabajar la multiplicación de izquierda a derecha? ¿Cuál es el punto de agregar otra propiedad para recordar?

Puede que todavía no me creas, pero la respuesta es simple. La propiedad asociativa de la multiplicación hace que multiplicar cadenas de números más largas sea más fácil que simplemente hacer la multiplicación tal cual.

Ejemplo: ¿Cómo funciona?

Veamos el problema de multiplicación: 6 x 4 x 5

Solución # 1: Haciendo el problema de izquierda a derecha, comenzaríamos por multiplicar 6 x 4 = 24 y luego multiplicar 24 por 5 para obtener una respuesta final de 120.

Si eres como yo, probablemente te tomó un minuto hacer los cálculos de 24 x 5 porque no es un simple problema de multiplicación y requiere un poco más de reflexión.

Ahora, veamos el mismo problema usando la propiedad asociativa de la multiplicación. Recuerde, la propiedad asociativa solo significa que podemos agregar paréntesis alrededor de dos números para reagrupar lo que multiplicamos primero.

Solución # 2: Usando la propiedad asociativa, voy a reagrupar el problema para multiplicar 4 x 5 primero. Nuestro nuevo problema sería entonces 6 x (4 x 5).

Mirar de cerca; no hemos cambiado nada en los números ni en las operaciones. Simplemente agregamos paréntesis alrededor de 4 x 5 para decir que esto es lo que vamos a hacer primero.

Ahora, al hacer el problema, 6 x (4 x 5), vamos a comenzar con 4 x 5 = 20 debido a nuestros paréntesis y luego multiplicaremos 20 por 6 para obtener nuestra respuesta final de 120.

En ambas soluciones, obtuvimos exactamente la misma respuesta de 120. ¡Esto prueba que nuestra propiedad asociativa de la multiplicación funciona!

Entonces, ¿por qué elegí multiplicar 4 x 5 primero en lugar de simplemente trabajar el problema de izquierda a derecha? Mira nuestra primera solución. En este caso, se necesitó un poco más de trabajo para multiplicar 24 x 5. Sin embargo, al hacer 4 x 5 primero, como en nuestra segunda solución, lo hicimos mucho más simple para luego multiplicar 20 x 6 para llegar a nuestra respuesta final de 120.

Notas al margen

Hay dos cosas que es importante comprender al utilizar esta propiedad.

La primera es nuestra regla de ceros. Cuando multiplica un número por otro número que termina en cero (s), en el caso de nuestro ejemplo, 20 x 6, puede quitar el cero (s), hacer la multiplicación y luego volver a sumar el cero (s) en. Entonces, para 20 x 6 eliminaríamos el cero haciendo el problema 2 x 6 = 12 y luego agregaríamos el cero para obtener una respuesta de 120. ¡Cálculos mentales rápidos y fáciles!

También es importante comprender que, si bien esta propiedad también funcionará para la suma, NO funcionará para la resta o la división.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos que la propiedad asociativa de la multiplicación es solo una forma elegante de decir que no importa qué dos números se multipliquen primero en un problema de varios pasos. Ya sea que multiplique de izquierda a derecha o elija otra agrupación que simplifique la cantidad de trabajo que realiza, SIEMPRE debe obtener la misma respuesta. Entonces, ¿por qué no usar esta propiedad y hacer que sus matemáticas funcionen un poco más fácilmente?

Rodrigo Ricardo Editor y fundador