Propiedades de las líneas concurrentes en un triángulo

Donde las líneas se encuentran

Si alguna vez ha estado en Nueva Inglaterra, es posible que se haya encontrado con sus locas intersecciones. En lugar de que dos carreteras se encuentren, lo cual es normal y funcional, es posible que se encuentren tres o cuatro carreteras, a menudo en ángulos extraños. Esto puede parecer caótico y extraño.

La peor parte es que no les gustan mucho la señalización. Por lo tanto, es posible que ni siquiera sepa cómo llamar a las carreteras. Pero si esas carreteras fueran líneas en un triángulo, definitivamente tendrían nombres, como mediana y bisectriz de ángulo.

Aún mejor, los puntos donde se unen esas carreteras también tendrían nombres. Eso es lo que vamos a aprender aquí. A estas intersecciones las llamamos puntos de concurrencia. La concurrencia es cuando tres o más líneas se encuentran en un solo punto. Podemos llamar líneas como estas líneas concurrentes. Veamos algunos.

Centroide

Primero, veamos las medianas. Estas son líneas dibujadas desde los vértices de un triángulo que bisecan los lados opuestos. Las medianas son tan limpias y ordenadas, que dividen perfectamente los lados opuestos por la mitad. Son como las medianas en un camino con sus hermosos arbustos.

Los puntos donde tres líneas medianas son concurrentes o se cruzan se denominan centroide . Centroide también significa centro de masa. Y, de hecho, si tomó su triángulo y trató de equilibrarlo en un lápiz, el centroide es donde debe colocar la punta del lápiz. Eso equilibrará perfectamente la masa del triángulo.

Ortocentro

Y luego están las altitudes. Una altitud es un segmento de línea perpendicular dibujado desde un vértice hasta el lado opuesto. Es como la altitud de una montaña, esa es la distancia desde la cumbre hacia abajo, o perpendicular, al nivel del mar.

El punto donde las tres líneas de altitud son concurrentes se llama ortocentro del triángulo .

¿Ortocentro? Esa es una palabra extraña. Suena a ortodoncista. Oh, hombre, no me gusta que me recuerden a mi ortodoncista. Trató de enderezar mis dientes infligiendo dolor y estropeando mi sonrisa con frenillos durante toda la escuela secundaria. Pero el ortocentro y el ortodoncista comparten algo. La raíz orto- significa recta o derecha. Al igual que un ortodoncista que endereza sus dientes, para que estén en ángulo recto en su boca, un ortocentro es el centro de las líneas en ángulo recto en un triángulo.

Por supuesto, si este triángulo con altitudes dibujadas en él y un ortocentro aquí fuera su boca, definitivamente necesitaría ver a un ortodoncista.

Una cosa divertida de los ortocentros es que no necesitan estar dentro de un triángulo. Considere este triángulo. Si sacamos una altitud de C, llega a AB. Eso es normal. ¿Qué pasa con A? Eso va a ser perpendicular a BC aquí. ¿Y de B? Eso es perpendicular al aire acondicionado aquí abajo. Así que tenemos que extender nuestra línea de altitud desde C hacia abajo para encontrar las otras dos líneas, y nuestro ortocentro está completamente aquí.

Algunos ortocentros se pueden encontrar en el exterior de un triángulo.

En el centro

A continuación, veamos las bisectrices de los ángulos. Estas son líneas dibujadas desde un ángulo que biseca el ángulo o lo divide por la mitad. Eso es fácil de recordar. Lo que hacen está ahí en su nombre: bisecan el ángulo, por lo que los llamamos bisectores de ángulo.

Es como si North St. realmente se fuera al norte. Creo que eso sucede a veces en Nueva Inglaterra. Aunque East Boston está en realidad al norte del North End, lo cual es muy confuso.

Pero las bisectrices de los ángulos siempre se encuentran dentro de un triángulo. Y mira esto. Dibujemos un círculo inscrito en nuestro triángulo. Ese es un círculo que toca o es tangente a los tres lados del triángulo. El punto de coincidencia de nuestras bisectrices angulares también es el centro del círculo inscrito. Por lo tanto, llamamos incentro al punto donde tres bisectrices de ángulos son concurrentes . El incentro está en el centro del círculo inscrito.

Para un triángulo agudo, el incentro es la cruz de las bisectrices de los ángulos y el centro del círculo inscrito

Eso es cierto en nuestro hermoso triángulo agudo aquí, donde todos los ángulos tienen menos de 90 grados. ¿Sigue siendo cierto en un triángulo obtuso, donde tenemos un ángulo mayor de 90 grados? Vamos a averiguar.

Dibujemos una bisectriz de ángulo de A. Ahora uno de B. Y luego uno de C. Todos se encuentran aquí. Este es nuestro incentro. Ahora, agreguemos un círculo inscrito.

El incentro de un triángulo obtuso es la coincidencia de las bisectrices de los ángulos y el centro del círculo inscrito

¡Y mira! Su centro es el incentro.

Lo que pasa con los incenters es que me recuerdan a las rotondas. Algunas personas los consideran una parte terrible del tráfico de Nueva Inglaterra. Creo que son increíbles. Puede conducir en círculos para siempre y para siempre y luego elegir una carretera aleatoria que vaya quién sabe dónde y conducir.

Circuncentro

Antes de que nos adentremos en el éter, hay un punto más de concurrencia a considerar. Sabemos que las medianas bisecan los lados de un triángulo y las altitudes son perpendiculares a los lados. Pero luego están las bisectrices perpendiculares. Así es como suenan. Perpendicularmente bisecan, o dividen uniformemente, los lados de un triángulo.

El punto donde las tres bisectrices perpendiculares son concurrentes se llama circuncentro . ¿Por qué? Bueno, en lugar de un círculo inscrito, dibujemos un círculo circunscrito. Este es un círculo que toca los tres vértices o esquinas del triángulo. ¿Adivina qué? El circuncentro es el centro del círculo circunscrito. Tiene sentido, ¿verdad?

Resumen de la lección

En resumen, aprendimos todo sobre las líneas concurrentes en triángulos, o los puntos donde se unen varias líneas.

Primero, estaban los centroides. Estos son los puntos donde se encuentran las medianas de los triángulos.

Luego están los ortocentros. Estos son los puntos de coincidencia para las altitudes. Las altitudes son rectas, como la ortodoncia hace los dientes.

También aprendimos sobre incentros y circuncentros. Un incentro es el punto de coincidencia cuando se trata de bisectrices angulares. Los circuncentros son los puntos de concurrencia cuando tenemos bisectrices perpendiculares. Los incentros son el centro del círculo inscrito, mientras que los circuncentros son el centro del círculo circunscrito.

Los resultados del aprendizaje

Al final de esta lección, debería poder:

• Definir concurrencia
• Recitar los cuatro tipos diferentes de puntos de coincidencia para triángulos e identificarlos en un dibujo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador