Propiedades de los triángulos rectángulos: teoremas y pruebas

¿Qué son los triángulos rectángulos?

Los triángulos vienen en diferentes tamaños y orientaciones, pero hay un tipo de triángulo que se destaca en particular: el triángulo rectángulo. Los triángulos rectángulos se utilizan en innumerables aplicaciones, desde el diseño de aviones de combate hasta la demostración de complejos teoremas matemáticos y más. Entonces, ¿cuáles son estas estructuras geométricas aparentemente omnipotentes?

Un triángulo rectángulo es un triángulo con uno de sus ángulos que mide 90 grados. Además, por definición, un ángulo que mide 90 grados es un ángulo recto y debería denotarse con un pequeño cuadrado, como veremos pronto. Veamos algunos ejemplos de triángulos rectángulos. Tenga en cuenta que cada uno de los triángulos mostrados tiene un pequeño cuadrado para designar el ángulo recto. Esto es muy importante ya que algunos triángulos no se consideran un triángulo rectángulo porque el ángulo C no está designado como un ángulo recto como en esta imagen:

Una propiedad importante de los triángulos rectángulos es que las medidas de los ángulos no rectos (indicados alfa y beta en esta figura) deben sumar 90 grados. Esto se debe al hecho de que la suma de todos los ángulos de un triángulo es 180 grados, por lo que alfa más beta más 90 es igual a 180 grados. Lo que implica que alfa más beta equivale a 90 grados.

Por cierto, los ángulos que suman 90 grados también se llaman ángulos complementarios , en caso de que lo lea en otro lugar. Los lados opuestos a los ángulos alfa y beta se llaman catetos, mientras que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Con todo eso fuera del camino, ahora está listo para continuar con dos teoremas importantes que han hecho que los triángulos rectángulos sean súper famosos.

El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras lleva el nombre del matemático griego Pitágoras, aunque también fue descubierto de forma independiente por otras civilizaciones antiguas. Describe la relación entre los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Eche un vistazo a la siguiente figura. Tenga en cuenta que las dos patas se indican como un y b , mientras que la hipotenusa se denota como c . El teorema de Pitágoras establece que el mismo de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa, o más simplemente, a al cuadrado más b al cuadrado es igual a c al cuadrado.

Veamos una demostración de este teorema propuesta por James Garfield. Comenzamos con un triángulo rectángulo, lo duplicamos y lo colocamos junto a la copia original como se muestra.

Añadiendo una línea extra desde la punta del ángulo alfa hasta la punta del ángulo beta, como lo muestra la línea naranja, convertimos toda la figura en un trapezoide. Tenga en cuenta que el ángulo opuesto al segmento de línea k debe medir 90 grados. La fórmula para el área de un trapezoide es la mitad de la altura por la suma de las bases. En cuanto a nuestra figura, tanto la suma de las bases y la altura son iguales a un plus b , por lo que el área de nuestra trapecio es igual a una vez y media un plus b veces un plus b .

Ahora, sumando las áreas de los dos triángulos duplicados con el tercer triángulo formado por el segmento de línea k y recordando que el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, tenemos esto:

Teorema de la altitud del triángulo rectángulo

Con eso fuera del camino, pasemos al otro teorema importante. El teorema de la altitud del triángulo rectángulo establece que en un triángulo rectángulo, la altitud dibujada a la hipotenusa forma dos triángulos rectángulos que son similares entre sí, así como al triángulo original. Comenzando con el triángulo ABC , coloque una perpendicular desde el ángulo C sobre la hipotenusa como se muestra aquí:

Esta perpendicular también se conoce como la altura del triángulo. Ahora, etiquetamos los ángulos recién formados como se muestra aquí. Veamos cómo podemos demostrar el teorema de la altitud en ángulo recto a partir de esta figura.

Tenga en cuenta los siguientes pares de ángulos complementarios. Por lo tanto, dado que el ángulo alfa en el triángulo ADC es congruente con el ángulo alfa en el triángulo ACB , los ángulos ADC y ACB son congruentes. Los triángulos ADC y ACB son similares entre sí. Además, dado que el ángulo beta en el triángulo ACD es congruente con el ángulo beta en el triángulo ACB , y los ángulos CDB y ACB son congruentes, los triángulos CDB y ACB son similares entre sí.

Si dos triángulos son similares al mismo triángulo, entonces deben ser similares entre sí. Dado que los triángulos ADC y CDB son similares al triángulo ACB , el triángulo ADC es similar al triángulo CDB .

Resumen de la lección

Resumamos todo lo que hemos aprendido. Un triángulo rectángulo es un triángulo con uno de sus ángulos que mide 90 grados. Además, un ángulo de 90 grados es un ángulo recto . Los ángulos rectos deben ser donados por un pequeño cuadrado en figuras geométricas. Si dejamos de designar un ángulo recto de esta forma, no se puede suponer que sea un ángulo recto, incluso si visualmente parece tener unos 90 grados.

Los ángulos complementarios son ángulos que suman 90 grados. También has visto una demostración del teorema de Pitágoras , que establece que el mismo de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Otro teorema que hemos cubierto, el teorema de la altitud del triángulo rectángulo , establece que en un triángulo rectángulo, la altitud dibujada a la hipotenusa forma dos triángulos rectángulos que son similares entre sí, así como al triángulo original. Ahora eres un experto en triángulos rectángulos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador