Prueba de hipótesis para múltiples muestras: definición y ejemplos

Publicado el 23 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Pruebas estadísticas

Uno de los objetivos más importantes de la estadística es la capacidad de realizar pruebas de hipótesis que se realizan mediante el uso de una prueba estadística. Las pruebas estadísticas constan de los siguientes cuatro elementos.

  1. Hipótesis nula ( H O ), la creencia aceptada
  2. Hipótesis alternativa ( H a ), lo opuesto a la creencia aceptada
  3. Estadística de prueba (TS)
  4. Región de rechazo (RR)

Al hacer pruebas de hipótesis, siempre hay solo dos resultados posibles, o se rechaza la hipótesis nula o no se rechaza la hipótesis nula. La hipótesis nula se rechaza cuando el valor obtenido al calcular el estadístico de prueba cae dentro de una región de rechazo dada.

Hay diferentes tipos de pruebas estadísticas para diferentes situaciones, y en esta lección nos centraremos en el uso de una prueba estadística para comparar dos medias para pruebas de muestras pequeñas.

Pruebas T dependientes e independientes

Para realizar pruebas de hipótesis en dos muestras pequeñas ( n <30) con variables aleatorias distribuidas normalmente ( X 1 , X 2 , …, X n ) e ( Y 1 , Y 2 , …, Y n ) se utilizar pruebas T. Las pruebas T se denominan así porque utilizan la distribución t, y hay dos tipos principales: independientes y dependientes.

Las pruebas T dependientes tienen muestras pareadas , que son muestras que están intrínsecamente acopladas entre sí. Un ejemplo de esto sería una muestra tomada antes de que un sujeto realice una prueba y otra muestra obtenida después de la prueba para comparar. Las pruebas T dependientes se realizan de la misma manera que las pruebas T de muestra única, excepto que utilizan la diferencia entre las dos muestras en lugar de una sola muestra. Por este motivo, nos centraremos en aprender a realizar pruebas T independientes en esta lección.

En una prueba T independiente , las muestras no están relacionadas y tienen tres posibles hipótesis nulas diferentes. Cada uno de estos se presenta en la tabla siguiente con sus correspondientes hipótesis alternativas y regiones de rechazo.


Esta tabla muestra cada una de las tres posibles hipótesis nulas que se pueden probar en una prueba T independiente. Aquí también se dan sus hipótesis alternativas y regiones de rechazo.
posibles relaciones medias para las pruebas T

Pruebas T agrupadas y no agrupadas

Hay dos tipos de pruebas T independientes, agrupadas y no agrupadas. La diferencia entre los dos tiene que ver con las dos varianzas muestrales ( S 2 ). Si la relación entre la varianza de la muestra más grande y la varianza de la muestra más pequeña es menor que 3, podemos asumir que sus dos varianzas de población correspondientes ( σ 2 ) son iguales.

condición de prueba t combinada

Cuando se cumple esta condición, realizamos una prueba T combinada . El estadístico de prueba para una prueba T combinada y los grados de libertad (gl) son los siguientes, donde X e Y con barras sobre ellos son medias muestrales.

TS y df agrupados

En esta fórmula, S p es la desviación estándar combinada, siendo S p 2 la varianza combinada.

varianza agrupada

Cuando no se cumple la condición para una prueba T combinada, usamos la siguiente estadística de prueba para realizar una prueba T no combinada .

estadística de prueba no agrupada

Para los grados de libertad, usaremos el menor de n 1 – 1 y n 2 – 1. Tenga en cuenta que este es el enfoque conservador de los grados de libertad para las pruebas T no agrupadas, y también existe una aproximación más complicada.

Problema de ejemplo

Ahora, usemos lo que aprendimos para analizar juntos un problema de ejemplo.

Dos grupos de investigadores idearon dos métodos separados para encontrar la precipitación anual promedio en Canadá. El primer grupo encontró que había una media de 43,1 pulgadas de lluvia con una variación de 20,7 después de tomar 7 pruebas de muestra. El segundo grupo de investigadores encontró una media de 38,3 pulgadas de lluvia con una variación de 22,5 después de tomar también 7 pruebas de muestra. En promedio, ¿los dos métodos muestran medias poblacionales iguales con un nivel de significancia ( α ) del 5% ?

En este caso, queremos ver si nuestras dos medias son estadísticamente iguales. Podemos hacer coincidir esto con la tercera opción de nuestra tabla anterior. Tenga en cuenta que si no pudiéramos coincidir con ninguna de las hipótesis nulas, usaríamos una hipótesis alternativa, pero si rechazar o no la nula correspondiente sigue siendo lo que se probaría.


Hipótesis nula, su alternativa y región de rechazo para este problema.
hipótesis nula

A continuación, debemos determinar si estamos haciendo una prueba T combinada o no combinada. Para hacer esto, miramos la siguiente proporción.

ejemplo part1

Dado que esta relación resultó ser cierta, podemos decir que las varianzas de la población son iguales y realizar una prueba T combinada. Para comenzar a trabajar en nuestra prueba T combinada, primero encontramos el valor de nuestra desviación estándar combinada.

ejemplo part2

Con la desviación estándar combinada podemos encontrar el estadístico de prueba.

ejemplo part3

Para realizar nuestra prueba de hipótesis, usaremos lo que se llama el enfoque de valor crítico (CV) que se realiza utilizando nuestra región de rechazo (RR). Si la desigualdad es verdadera, rechazamos H o y si no lo es, no rechazamos H o .

ejemplo part4

El lado izquierdo de la desigualdad es el valor absoluto del estadístico de prueba y el derecho es el valor obtenido de la tabla t.


Tabla T para alfa = 0.1, 0.05 y 0.025 con grados de libertad de hasta 20.
mesa t

Necesitamos calcular α / 2, que será el valor en la primera fila de la tabla t, y los grados de libertad (gl), que es la primera columna de la tabla t.

ejemplo part5

Luego, al encontrar el punto en la tabla t donde esos dos valores se cruzan, obtenemos el valor del lado derecho de nuestra desigualdad RR.

ejemplo part6

Podemos ver que nuestra desigualdad RR falla ya que 1,95 no es mayor o igual que 2,179. Por lo tanto, no logramos rechazar Ho a un nivel de significancia del 5%.

Resumen de la lección

Para realizar la prueba de hipótesis, se realiza una prueba estadística que consta de los siguientes cuatro elementos.

  1. Hipótesis nula ( H o )
  2. Hipótesis alternativa ( H a )
  3. Estadística de prueba (TS)
  4. Región de rechazo (RR)

El tipo de prueba estadística que se utiliza para comparar dos medias para muestras pequeñas ( n <30) con variables aleatorias distribuidas normalmente se conoce como prueba T. Las pruebas T se denominan así porque utilizan la distribución t. Se pueden dividir dos pruebas T de muestra en variaciones dependientes e independientes.

Las pruebas T dependientes tienen muestras pareadas que están intrínsecamente relacionadas y se realizan de la misma manera que las pruebas t de muestra única, excepto que se usa la diferencia entre las dos muestras en lugar de una sola muestra.

Las pruebas T independientes tienen muestras no relacionadas que pueden tener las siguientes tres posibles hipótesis nulas.


Esta tabla muestra cada una de las tres posibles hipótesis nulas que se pueden probar en una prueba T independiente. Aquí también se dan sus hipótesis alternativas y regiones de rechazo.
posibles relaciones medias para las pruebas T

Las pruebas T independientes se pueden dividir en dos categorías.

Una prueba T agrupada se produce cuando la relación entre la varianza de la muestra más grande y la varianza de la muestra más pequeña es inferior a 3. Las pruebas T agrupadas tienen la siguiente estadística de prueba y la varianza agrupada.

TS Sp ^ 2 y DF agrupados

Si un T-prueba falla la condición agrupada, se conoce como un T-test no puestos en común y tiene la siguiente estadística de prueba.

TS no agrupado

El enfoque conservador de los grados de libertad para las pruebas T no agrupadas es elegir entre el menor de n 1 -1 y n 2 – 1.

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