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¿Qué es una línea de tendencia en matemáticas? – Definición, ecuación y análisis

Publicado el 23 septiembre, 2020

Definición de una línea de tendencia

Una línea de tendencia , a menudo denominada línea de mejor ajuste, es una línea que se utiliza para representar el comportamiento de un conjunto de datos para determinar si existe un patrón determinado. Una línea de tendencia es una herramienta analítica que se utiliza con mayor frecuencia junto con un diagrama de dispersión (un gráfico bidimensional de pares ordenados) para ver si existe una relación entre dos variables.

Echemos un vistazo rápido a los propósitos principales de una línea de tendencia:

1. Determinar si un conjunto de puntos presenta una tendencia positiva, una tendencia negativa o ninguna tendencia. Observar las líneas de tendencia rojas en los ejemplos ilustra varias relaciones con conjuntos de datos.

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2. Predecir puntos de datos desconocidos o futuros.

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Este gráfico muestra las temperaturas en el transcurso de diez días. Si estuviera intentando predecir la temperatura en el undécimo día basándose en este gráfico, una buena estimación sería de 70,5 grados.

Aproximación de líneas de tendencia

Es posible que no siempre sea necesario determinar el valor exacto de una línea de tendencia. En algunos casos, una aproximación es suficiente para obtener el comportamiento general de los datos. Si el conjunto de datos es lineal, la línea de tendencia es simplemente una línea que pasa por cada punto. Para todos los demás conjuntos de datos, existe una estrategia simple para aproximar la línea de tendencia: dibuje una línea que esté situada a una distancia mínima de cada punto mientras trata de pasar por tantos como sea posible, de modo que el número de puntos que caen por encima y por debajo la línea es aproximadamente igual. Aquí hay una ilustración de esta estrategia:

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En este gráfico, la línea de tendencia, aunque aproximada, indica claramente una relación positiva.

Calcular líneas de tendencia

Si se nos pidiera que reportáramos una ecuación exacta para la línea de tendencia que aproximamos en la sección anterior, tendríamos que utilizar la siguiente fórmula:

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Esto puede parecer intimidante al principio. Lo es mucho menos si organiza sus cálculos en una tabla. Además, existen programas de fácil acceso en Internet que calcularán automáticamente las líneas de tendencia que puede utilizar para verificar su trabajo.

Para probar nuestra nueva fórmula, usaremos el conjunto de datos presentado en la sección anterior. Para revisar, los pares ordenados fueron (1, 2), (2, 3), (3, 6), (4, 8), (5, 10) y (6, 12). Mientras calcula, puede crear una tabla, como la que se muestra aquí, en la que la fórmula se ha dividido en grupos más pequeños de variables:

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Paso 1: complete cada columna de la tabla

Columna 1: las diferencias entre cada coordenada x y el promedio de todas las coordenadas x

Ejemplo de fila 1:

1 – {(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6} = 1 – 3,5 = -2,5

Columna 2: la diferencia entre cada y coordenada y el promedio de todos los Y coordenadas x

Ejemplo de fila 1:

2 – {(2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 10) / 6} = 2 – 6,83 = -4,83

Columna 3: multiplique las columnas 1 y 2 = -2,5 * (-4,83) = 12,083

Columna 4: multiplique la columna 1 por sí misma = -2,5 * (-2,5) = 6,25

Paso 2: Calcule la pendiente ( m ) de su línea de tendencia dividiendo el total de la Columna 3 por el total de la Columna 4

m = 36,5 / 17,5 = 2,0857

Paso 3: Calcular la y intercepción ( b ) de su línea de tendencia utilizando el promedio de la pendiente de la Etapa 2 y el promedio de la x y Y coordenadas x

b = 6,83 – (2,0857 * 3,5) = -0,46667

Paso 4: Informe su ecuación y verifique

Aquí la línea de tendencia es igual a: y = 2.0857 x – 0.4667

Más allá de la línea de tendencia

Hasta este punto, solo hemos hablado de líneas de tendencia, siendo línea la abreviatura de función lineal. Sin embargo, una función lineal de primer orden puede no ser apropiada para todos los conjuntos de datos. En algunos casos, una ecuación de orden superior o una función especial pueden proporcionar la mejor coincidencia a partir de la cual sacar conclusiones sobre el comportamiento de los datos y / o hacer predicciones. Tomemos, por ejemplo, este gráfico:

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Existe un tipo diferente de curva que resulta ser más compatible con estos datos que la línea de tendencia lineal; conecta o se acerca a conectar a un mayor número de puntos. Resulta que, como muchos problemas relacionados con el valor monetario, los datos siguen una tendencia de caída exponencial.

Tome nota de una última advertencia sobre las líneas de tendencia y cuándo pueden no ser aplicables. Si se trata de un conjunto de datos incompleto, puede resultar problemático comenzar a sacar conclusiones de una línea de tendencia. No puede confiar en una línea de tendencia que se generó usando dos puntos, por ejemplo, tanto como podría uno generado usando doscientos puntos.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos que una línea de tendencia , también conocida como línea de mejor ajuste, es una línea que se usa para representar el comportamiento de un conjunto de datos para determinar si existe un patrón determinado. Si el conjunto de datos es lineal, la línea de tendencia es simplemente una línea que pasa por cada punto. Para todos los demás conjuntos de datos, dibuje una línea que esté situada a una distancia mínima de cada punto mientras trata de pasar por tantos como sea posible, de modo que el número de puntos que caen por encima y por debajo de la línea sea aproximadamente igual.

Para obtener una ecuación exacta para una línea de tendencia, usamos la siguiente fórmula:

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Es más fácil trabajar con la fórmula si crea una tabla siguiendo los siguientes pasos:

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Paso 1: complete cada columna de la tabla

Paso 2: Calcule la pendiente ( m ) de su línea de tendencia dividiendo el total de la Columna 3 por el total de la Columna 4

Paso 3: Calcule la intersección con el eje y ( b ) de su línea de tendencia usando el promedio de la pendiente del Paso 2 y el promedio de las coordenadas x e y .

Paso 4: Informe su ecuación y verifique.

Aquí, la línea de tendencia es igual a: y = 2.0857 x – 0.4667

Sin embargo, es posible que una línea de tendencia no sea apropiada para todos los conjuntos de datos. Si se trata de un conjunto de datos incompleto, puede resultar problemático comenzar a sacar conclusiones de una línea de tendencia. No puede confiar en una línea de tendencia que se generó utilizando dos puntos. En algunos casos, una ecuación de orden superior o una función especial pueden proporcionar la mejor coincidencia a partir de la cual sacar conclusiones sobre el comportamiento de los datos y / o hacer predicciones.

Pasos para crear una tabla para encontrar líneas de tendencia

Línea de tendencia

Paso 1: Complete cada columna de la tabla: Columna 1 = las diferencias entre cada coordenada x y el promedio de todas las coordenadas x ; Columna 2 = la diferencia entre cada y coordenada y el promedio de la totalidad de la y coordenadas x; Columna 3 = multiplica las columnas 1 y 2; Columna 4 = multiplica la columna 1 por sí misma.

Paso 2: Calcule la pendiente ( m ) de su línea de tendencia dividiendo el total de la Columna 3 por el total de la Columna 4.

Paso 3: Calcule la intersección con el eje y ( b ) de su línea de tendencia usando el promedio de la pendiente del Paso 2 y el promedio de las coordenadas x e y .

Paso 4: Informe su ecuación y verifique.

Los resultados del aprendizaje

Después de estudiar todos los aspectos de esta lección en video, evalúe su capacidad para:

  • Escribe la definición de una línea de tendencia.
  • Recuerde la estrategia para aproximar una línea de tendencia
  • Calcule la línea de tendencia para una función usando una tabla
  • Tenga en cuenta que las líneas de tendencia pueden no ser apropiadas para todos los conjuntos de datos.

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