Raíz cuadrada negativa: definición y descripción general

¿Qué es una raíz cuadrada?

Antes de aprender qué es una raíz cuadrada negativa, primero definamos qué es una raíz cuadrada. El número a es la raíz cuadrada de b en la expresión a ^ 2 = b . Esto significa que si multiplica a por sí mismo, o a por a , obtendrá b . Introduzcamos números reales en esa ecuación, donde a es 4:

4 ^ 2 = 16

Esto significa que 4 por 4 es 16 y, por lo tanto, 4 es la raíz cuadrada de 16.

Un número positivo tiene dos raíces cuadradas: una es positiva y la otra es negativa. Si tenemos un número b positivo , entonces sus raíces cuadradas se escriben como se muestra en la Figura 1. La raíz cuadrada negativa de b tiene el signo negativo.

Figura 1

Veamos de nuevo un número real. Las dos raíces cuadradas de 16 son 4 y -4 porque 4 ^ 2 = 16 y (-4) ^ 2 = 16 como se ve en la siguiente Figura 2.

Figura 2

¿Qué es la raíz cuadrada negativa?

Como se mostró anteriormente, una raíz cuadrada negativa es una de las dos raíces cuadradas de un número positivo. Para el número 25, su raíz cuadrada negativa es -5 porque (-5) ^ 2 = 25.

Podemos resolver ciertas ecuaciones al encontrar la raíz cuadrada de un número. Consideremos la ecuación de x ^ 2 = 121. Queremos resolver para x , por lo que necesitamos sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación como se muestra en la Figura 3.

figura 3

Usamos el símbolo ± porque necesitamos considerar ambas raíces cuadradas de 121. Este símbolo se lee como ‘más o menos la raíz cuadrada de 121’. La solución al problema es +11 o -11. Podemos verificar esto conectando las respuestas en la ecuación original:

11 ^ 2 = 121

(-11) ^ 2 = 121

¿Qué pasa con la raíz cuadrada de un número negativo? Por ejemplo, ¿cuál es la raíz cuadrada de -9? Podemos intentar 3, pero 3 x 3 = 9. Podemos intentar -3, pero (-3) x (-3) = 9. Este dilema se debe al hecho de que la raíz cuadrada de cualquier número real x no puede ser negativa . Por tanto, la raíz cuadrada de un número negativo no existe, al menos no dentro del sistema de números reales.

Debemos recordar que los números reales incluyen todos los números racionales (por ejemplo, los números enteros 0 y 7, el entero -5 y la fracción 2/3), así como los números irracionales (como pi y raíz cuadrada de 3).

Sin embargo, los matemáticos superaron este problema de raíces cuadradas de números negativos creando la unidad imaginaria.

La unidad imaginaria

La unidad imaginaria i se define como la raíz cuadrada de -1.

Una razón principal para crear la unidad imaginaria fue resolver ecuaciones cuadráticas que no tienen soluciones de números reales. Consideremos una ecuación cuadrática simple como la siguiente:

x ^ 2 + 4 = 0

Si resolvemos para x , obtendremos x = ± raíz cuadrada de -4. ¿Cuáles son entonces los posibles valores de x ?

2 x 2 no es igual a -4 y (-2) x (-2) no es igual a -4.

Esto nos dice que la gráfica de esta ecuación cuadrática no tiene soluciones que sean números reales. En otras palabras, no cruza el eje x .

Sin embargo, podemos darle soluciones imaginarias. Podemos usar la propiedad del producto de las raíces cuadradas y reescribir la raíz cuadrada de -4 como se muestra en la Figura 4. Aislamos el número imaginario, que nos dio un número positivo 4 debajo del otro símbolo de raíz cuadrada. Reemplazamos la raíz cuadrada de -1 con i y terminamos de simplificar como de costumbre.

Figura 4

Allí, hemos encontrado las soluciones para la ecuación cuadrática x ^ 2 + 4 = 0, aunque son soluciones imaginarias.

Operaciones con números imaginarios

Ahora veamos las operaciones con números imaginarios y comencemos con un ejemplo simple:

• Simplifica la raíz cuadrada de -18 más la raíz cuadrada de -50.

La solución a este problema se muestra en la Figura 5. Primero debemos simplificar cada término. Por ejemplo, podemos reescribir la raíz cuadrada de 18 usando tres factores: la raíz cuadrada de -1, la raíz cuadrada de 9 y la raíz cuadrada de 2. Por lo tanto, podemos simplificar el primer término a 3 i por la raíz cuadrada de 2. Si, después de simplificar, dos términos tienen el mismo factor de raíz cuadrada, en este ejemplo, la raíz cuadrada de 2, entonces podemos combinar los términos como se muestra.

Figura 5

Para el siguiente ejemplo, primero debemos reconocer que a veces es posible deshacerse de los números imaginarios. Consideremos la expresión i ^ 2. Podemos reescribir la segunda potencia de i como la raíz cuadrada de -1 por la raíz cuadrada de -1. Después de simplificar, descubrimos que i ^ 2 = -1, un número real.

Es importante notar en este punto de la lección que no podemos usar la propiedad del producto de raíces cuadradas para combinar dos términos que son ambos raíz cuadrada de un número negativo. De lo contrario, i ^ 2 también sería igual a 1 positivo.

Poderes de la unidad imaginaria

Ahora sabemos que i es igual a la raíz cuadrada de -1 y que i ^ 2 es igual a -1. Veamos algunos otros poderes de i .

yo ^ 3 = ( yo ^ 2) ( yo ) = (-1) ( yo ) = – yo

yo ^ 4 = ( yo ^ 2) ( yo ^ 2) = (-1) (- 1) = 1

yo ^ 5 = ( yo ^ 4) ( yo ) = (1) ( yo ) = yo

Puede que hayas notado que volvemos a i cuando la unidad imaginaria se eleva a la potencia 5. Por lo tanto, el ciclo comenzará de nuevo. Debido a que el ciclo se repite cada cuatro potencias, podemos crear las relaciones que se muestran a continuación en las que n es cualquier número entero positivo:

yo ^ 1 = yo ^ (4 norte +1) = yo

yo ^ 2 = yo ^ (4 norte +2) = -1

yo ^ 3 = yo ^ (4 n +3) = – yo

yo ^ 4 = yo ^ (4 norte +4) = 1

Podemos usar este patrón para simplificar cualquier potencia de i si esa potencia es un número entero positivo. La unidad imaginaria a una potencia de 4 o cualquier múltiplo de 4 es igual a 1. Para cualquier potencia de i que tenga un exponente de 5 o mayor, divida el exponente por 4. Si el resto es 0, entonces la potencia es igual a 1. Si la el resto no es 0, entonces use las ecuaciones que se muestran arriba.

Completemos un ejemplo.

Necesitamos evaluar i ^ 43. Primero, divide 43 entre 4. Obtenemos 10 con un residuo de 3. Por lo tanto:

yo ^ 43 = yo ^ 3 = – yo

Resumen de la lección

Revisemos. Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas: una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada negativa. Sin embargo, las raíces cuadradas de números negativos no existen en el sistema de números reales. La unidad imaginaria nos permite escribir la raíz cuadrada de números negativos y completar operaciones con las raíces cuadradas de números negativos bajo las siguientes condiciones:

• La unidad imaginaria i es igual a la raíz cuadrada de -1.
• El cuadrado de la unidad imaginaria i ^ 2 es -1.
• Podemos aislar la unidad imaginaria de la raíz cuadrada de un número negativo; sin embargo, no podemos usar la propiedad del producto de las raíces cuadradas para combinar dos términos que son ambos raíz cuadrada de un número negativo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador