La prueba de la raíz
Si sabe que una serie converge, puede seguir trabajando en ella. Pero si no converge, puede dejar de trabajar en la serie porque no encontrará un final. Entonces, ¿cómo puedes saberlo? Bueno, hay una prueba que puedes hacer.
La prueba de la raíz es una prueba simple que prueba la convergencia absoluta de una serie, lo que significa que la serie definitivamente converge a algún valor. Esta prueba no le dice a qué converge la serie, solo que su serie converge.
La declaración formal para la prueba de raíz es:
Para una serie compone de términos un n , definir el límite de la siguiente manera en esta ecuación:
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Luego, tenemos en cuenta lo siguiente:
- Si L <1, entonces la serie converge absolutamente.
- Si L > 1, entonces la serie diverge.
- Si L = 1, entonces la serie es divergente o convergente.
Esa última declaración básicamente significa que si obtiene 1 para su L, entonces su respuesta es desconocida. La prueba de la raíz no puede decir si su serie converge o diverge.
Ahora, echemos un vistazo al uso de la prueba de la raíz para una serie convergente, una serie divergente y una serie desconocida o indeterminada.
Serie convergente
Primero, veamos una serie convergente. Este es el problema:
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Utilice la prueba de la raíz para determinar si esta serie converge o diverge.
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Para usar la prueba de la raíz, seguirá la declaración de la prueba de la raíz y tomará el límite del valor absoluto de los términos en la serie tomados a la potencia 1 / n como esta serie de ecuaciones que aparecen aquí:
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La L es igual a 4/5, que es menor que 1. Por lo tanto, según la prueba de la raíz, esta serie converge absolutamente. Observe cómo se canceló la potencia de 1 / n ya que la serie con la que está trabajando ya tiene una potencia n . Después de eso, toma el límite conectando infinito en su variable n y luego cancelando todo lo que pueda, dejándolo con 4/5.
Serie divergente
Ahora, veamos una serie divergente. ¿Esta serie diverge o converge? Utilice la prueba de raíz.
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Luego usa la prueba raíz y las cosas deberían verse así:
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Siga los mismos pasos que hizo antes. Esta vez, sin embargo, obtienes un 4 como límite. Dado que este 4 es mayor que 1, entonces esta serie diverge, según la prueba de la raíz.
Un ejemplo más
Este último ejemplo es de una serie en la que la prueba raíz no funcionará. Si aplica la prueba raíz, obtendrá una respuesta desconocida o indeterminada.
Nuevamente, debe usar la prueba de la raíz para determinar si esta serie diverge o converge.
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Usando la prueba de raíz, obtienes esto:
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El límite aquí es igual a 1, por lo que esta serie es desconocida o indeterminada. Su serie puede divergir o converger; la prueba raíz no puede decirlo. Tendrá que usar otro método para averiguarlo.
Resumen de la lección
Muy bien, repasemos. La prueba raíz es una prueba simple que prueba la convergencia absoluta de una serie. Para una serie compone de términos un n , definir el límite de la siguiente manera:
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Luego aprendimos que debemos tener en cuenta lo siguiente:
- Si L <1, entonces la serie converge absolutamente.
- Si L > 1, entonces la serie diverge.
- Si L = 1, entonces la serie es divergente o convergente.
Ahora debería tener más facilidad para resolver una convergencia en serie ahora que sabe cómo usar la prueba raíz y comprende lo que significan los resultados.
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