Regla del producto de raíces cuadradas: definición y ejemplo

Aplicación de raíces cuadradas

Suponga que está tratando de averiguar la longitud de un lado de un bolígrafo cuadrado. Sabes que el área es 144 pies 2 y sabes que para hallar el área de un cuadrado, debes multiplicar la longitud del lado por sí mismo. Es decir, si hacemos que s sea ​​la longitud de un lado de la pluma cuadrada, tenemos que s 2 = 144. Para resolver esto para s , tomaríamos la raíz cuadrada de ambos lados y agregaríamos el signo más o menos como mostrado:

Como estamos hablando de una longitud y no podemos tener una longitud negativa, podemos descartar la respuesta negativa, por lo que tenemos s = sqrt (144).

Puede que estés familiarizado con el hecho de que la raíz cuadrada de 144 es 12, pero ¿qué haces si no estás familiarizado con este hecho? ¿Cómo puedes encontrar la raíz cuadrada de 144 si aún no la conoces? Bueno, ¡averigüemos una forma de hacer esto!

Producto de la regla de raíces cuadradas

Vamos a ver una regla que involucra raíces cuadradas que nos permitirá descomponer una raíz cuadrada para que podamos evaluarla más fácilmente. Esa regla se llama la regla del producto de raíces cuadradas , y establece que la raíz cuadrada de un producto es igual a la raíz cuadrada de cada factor del producto multiplicado, o como puede ver:

La regla en sí puede parecerle de sentido común, pero es posible que se quede preguntándose cómo podemos usar esto para ayudarnos a encontrar la raíz cuadrada de 144. Aquí está el truco: si descompone 144 en factores de cuadrados perfectos que sabe, podemos usar la regla para dividir la raíz cuadrada en un producto de raíces cuadradas y evaluarlo de esta manera. Veamos cómo funciona esto.

Observe que 144 = 4 * 36, y 4 y 36 son raíces cuadradas bien conocidas. Específicamente, sqrt (4) = 2 y sqrt (36) = 6. Por lo tanto, podemos usar la regla del producto de raíces cuadradas para descomponer y evaluar la raíz cuadrada de 144 de la siguiente manera:

Vemos que la raíz cuadrada de 144 es 12, como se esperaba. Ahora, es posible que se pregunte qué pasaría si hubiera elegido diferentes factores. Por ejemplo, suponga que factorizó 144 aún más y obtuvo 144 = 4 * 36 = 4 * 4 * 9. Bueno, la regla del producto todavía se aplica, así que veamos qué sucede cuando lo hacemos de esta manera:

Una vez más, obtenemos que la raíz cuadrada de 144 es 12.

Vemos que esta regla del producto de las raíces cuadradas es extremadamente útil cuando se trata de evaluar raíces cuadradas grandes. También podemos usarlo para simplificar expresiones de raíz cuadrada que contienen variables y para simplificar raíces cuadradas en general. Veamos algunos ejemplos de esto.

Algunos ejemplos

Suponga que desea simplificar la siguiente expresión:

Esto puede parecer bastante intimidante en su conjunto. Sin embargo, si observa cada factor de esto por separado, sus raíces cuadradas son bastante simples. La raíz cuadrada de 16 es 4. La raíz cuadrada de x 4 es x 2 . Por último, la raíz cuadrada de y 2 es y . Podemos usar la regla del producto de raíces cuadradas para dividir esto en el producto de estas tres raíces cuadradas y luego simplificar:

Vemos que la raíz cuadrada de 16 x 4 y 2 es 4 x 2 y . Al usar nuestra regla del producto de raíces cuadradas, pudimos tomar un problema que parecía bastante complicado y hacerlo bastante simple.

Veamos un ejemplo más. ¿Alguna vez ha estado leyendo un libro de texto de matemáticas y hay un ejemplo en el que la solución es una raíz cuadrada y se simplifica automáticamente sin ninguna explicación? Por ejemplo, la respuesta es algo así como sqrt (8), y luego, cuando presentan la respuesta, dicen que es 2 * sqrt (2)? Esto puede haberlo dejado preguntándose cómo sucedió. Bueno, ahora que estamos familiarizados con la regla del producto de raíces cuadradas, ¡sabemos cómo sucedió! El autor simplemente usó esta regla para simplificar la raíz cuadrada de 8:

Dado que 2 no es un cuadrado perfecto, 2 * sqrt (2) está tan simplificado como podemos obtener la raíz cuadrada de 8.

Como podemos ver, este producto de la regla de las raíces cuadradas se puede usar en muchas ocasiones diferentes para hacer que un problema aparentemente difícil sea bastante fácil.

Resumen de la lección

La regla del producto de raíces cuadradas nos permite factorizar cualquier expresión debajo de una raíz cuadrada y descomponer la raíz cuadrada en un producto de las raíces cuadradas de esos factores. En símbolos, tenemos lo siguiente:

Podemos usar esta regla para evaluar cuadrados perfectos grandes y simplificar expresiones de raíz cuadrada. Esto puede resultar muy útil cuando se trata de problemas que involucran raíces cuadradas. ¡Qué gran herramienta para agregar a nuestra caja de herramientas de matemáticas!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador