Resolución de desigualdades exponenciales y logarítmicas

Desigualdades exponenciales y logarítmicas

Suponga que tiene un virus estomacal. Acude al médico y le recetan un medicamento para ayudarlo a mejorar. Mientras se prepara para salir del consultorio, el médico le indica que se asegure de no tener nada que contenga calcio hasta que la cantidad de medicamento en su sistema sea inferior a 98 miligramos. Usted asiente con la cabeza y se apresura a salir de allí, ¡porque le duele el estómago!

Cuando llegas a casa, tomas el medicamento y luego te apetece un vaso de leche. ¡Pero espera! ¡La leche tiene calcio! Se da cuenta de que el médico le dio una cantidad (menos de 98 miligramos), no un período de tiempo real, con respecto a cuándo puede volver a tomar calcio. Afortunadamente, acabas de aprender sobre las funciones exponenciales en la clase de matemáticas una o dos semanas antes, por lo que puedes modelar la situación con la función

A ( t ) = 200 (0,7) t

donde A ( t ) es la cantidad de medicamento que queda en su sistema (en miligramos) t horas después de haberlo tomado.

Dado que debe haber menos de 98 miligramos de medicamento en su sistema, se da cuenta de que debe resolver la siguiente desigualdad para calcular cuánto tiempo debe esperar.

200 (0,7) t <98

Este es un ejemplo de desigualdad exponencial. Las desigualdades exponenciales son desigualdades que se pueden escribir en la forma ab x < k , donde <también puede ser>, ≤ o ≥. En esta lección, nos ocupamos de estos tipos de desigualdades y desigualdades logarítmicas, donde las desigualdades logarítmicas son desigualdades que se pueden escribir en la forma log b x < k , donde <también puede ser>, ≤ o ≥.

Resolver desigualdades exponenciales y logarítmicas mediante la representación gráfica

Realmente estás deseando ese vaso de leche, ¡así que quieres descubrir cómo resolver esta desigualdad exponencial! Bueno, no temas, ¡las matemáticas están aquí! Podemos resolver tanto desigualdades exponenciales como logarítmicas gráficamente usando los siguientes pasos.

Sea f ( x ) < k (donde <también puede ser>, ≤ o ≥) una desigualdad exponencial o logarítmica.

1. Grafica y = f ( x ) e y = k en la misma gráfica.
2. Encuentra los puntos de intersección de las gráficas. Estos puntos se denominarán sus valores críticos .
3. Si el símbolo de desigualdad es <o ≤, encuentre los intervalos de valores de x donde la gráfica de y = f ( x ) está debajo de la gráfica de y = k . Estos intervalos son sus soluciones e incluye los puntos finales si el símbolo de desigualdad es ≤. De la misma manera, si el símbolo de desigualdad es> o ≥, encuentre los intervalos de valores de x donde la gráfica de y = f ( x ) está por encima de la gráfica de y = k . Estos intervalos son sus soluciones e incluye los puntos finales si el símbolo de desigualdad es ≥.

¡Bien! ¡Eso no suena tan mal! ¡Lo daremos paso a paso!

El primer paso en la solución de 200 (0.7) t <98 es gráfico y = 200 (0.7) t y y = 98 en el mismo gráfico.

A continuación, ubique el punto de intersección de las gráficas.

Vemos que el punto de intersección de las gráficas está en t = 2. El símbolo de desigualdad en nuestra desigualdad es <, por lo que el tercer y último paso nos dice que encontremos los intervalos de t donde y = 200 (0.7) t está debajo de la gráfica de y = 98.

Esto sucede cuando t > 2. ¡Esta es nuestra respuesta! Debe esperar hasta que hayan pasado más de dos horas para tomar su vaso de leche. ¡Solo un poco más!

Otro ejemplo

Echemos un vistazo a un ejemplo de desigualdad logarítmica. Suponga que cierto programa nutricional le permite ganar músculo de tal manera que puede ser modelado por la función P ( x ) = log ( x ) + 1, donde P ( x ) es la cantidad de libras de músculo que puede ganar. en x días.

Desea saber cuándo su ganancia muscular será superior a 2 libras de músculo. En otras palabras, desea resolver la siguiente desigualdad.

log ( x ) + 1> 2 Restar 1 de ambos lados

log ( x )> 1

Bien, simplemente tomamos la desigualdad log ( x )> 1 a través de nuestros pasos. Primero, graficamos y = log ( x ) e y = 1 en la misma gráfica. Luego encontramos el punto de intersección de las gráficas.

Vemos que el punto de intersección de las gráficas está en x = 10. El último paso es observar que el símbolo de desigualdad es>, por lo que queremos encontrar los intervalos de x donde la gráfica de y = log ( x ) está por encima de la gráfica de y = 1.

Vemos que esto sucede cuando x > 10.2. Esto nos dice que después de 10,2 días, su ganancia muscular será superior a 2 libras.

Resumen de la lección

Las desigualdades exponenciales son desigualdades que se pueden escribir en la forma ab x < k , donde <también puede ser>, ≤ o ≥. Las desigualdades logarítmicas son desigualdades que se pueden escribir en la forma log b x < k , donde <también puede ser>, ≤ o ≥.

Podemos resolver este tipo de desigualdades gráficamente graficando ambos lados de la desigualdad en la misma gráfica, encontrando su punto de intersección y luego encontrando los intervalos de x donde las gráficas se encuentran por encima o por debajo de la otra gráfica, dependiendo del símbolo de desigualdad.

Ahora que hemos tenido un poco de práctica, vemos que este tipo de desigualdades puede parecer un poco abrumador, pero en realidad son bastante fáciles de resolver si lo damos paso a paso. Ahora, la pregunta importante: ¿han pasado ya dos horas? ¡Esa leche suena cada vez más deliciosa!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador