Ecuaciones súper cuadráticas
¿Qué piensas cuando escuchas las palabras ‘ecuaciones cuadráticas’ ? ¿Piensas en los polinomios habituales de grado 2? ¿Ecuaciones como x ^ 2 + 3x + 2 y x ^ 2 – 4x – 12 ? Pero, ¿sabías que en realidad podemos tener ecuaciones cuadráticas disfrazadas? Así como tenemos a nuestros superhéroes disfrazados haciéndose pasar por personas normales, también tenemos ecuaciones cuadráticas que se convierten en super ecuaciones.
¿Qué tipo de súper ecuaciones podemos esperar ver? Podemos esperar ver ecuaciones como x ^ 4 + 3x ^ 2 + 2 o incluso (x – 2) ^ 2 – 4 (x – 2) – 12 . Estas son súper ecuaciones porque vemos que son cuadráticas disfrazadas. La x ^ 4 + 3x ^ 2 + 2 se puede reescribir como (x ^ 2) ^ 2 + 3 (x ^ 2) + 2. Nuestra cuadrática tiene el disfraz x ^ 2 activado. El (x – 2) ^ 2 – 4 (x – 2) – 12 tiene el disfraz (x – 2). Una vez que hemos descubierto el disfraz, vemos que todavía siguen la forma cuadrática de ax ^ 2 + bx + c .
Haciendo la sustitución
Lo que hace que estas súper ecuaciones sean ecuaciones cuadráticas disfrazadas es que al hacer una sustitución, podemos convertirla en una ecuación cuadrática que podemos resolver fácilmente. Echemos un vistazo a cómo podemos seguir adelante y resolver la ecuación x ^ 4 – 3x ^ 2 + 2 . Para ayudarnos a descubrir qué tipo de sustitución hacer, podemos preguntarnos, ‘¿cómo podemos cambiar la ecuación para que se vuelva como las ecuaciones cuadráticas regulares con las que estamos tan familiarizados’? Mirando nuestra ecuación, vemos que si hacemos la sustitución u = x ^ 2 , entonces nuestra ecuación volverá a la normalidad. Lo sustituimos por cualquiera que sea el disfraz. Usamos otra letra para nuestra sustitución para no confundirnos con la variable del problema. Veamos qué pasa cuando hacemos esta sustitución. Nuestra ecuación,x ^ 4 – 3x ^ 2 + 2 , se convierte en u ^ 2 – 3u + 2 . ¡Oye, esa es una ecuación cuadrática normal! Sabemos cómo solucionar esto.
Resolver por sustitución
Para resolver esto, usamos nuestras habilidades para resolver ecuaciones cuadráticas normales. Para este problema, podemos factorizar para resolver. Tenemos (u – 1) (u – 2) . Para encontrar lo que nuestras variables u serán iguales, establecemos cada factor en 0 y luego resolvemos para u . Obtenemos u = 1 y u = 2.
Para terminar nuestro problema, ahora necesitamos encontrar lo que es igual a nuestra x . Para hacer esto, volvemos a nuestra sustitución, u = x ^ 2 . Conectamos esto para los u s que encontramos. Obtenemos x ^ 2 = 1 y x ^ 2 = 2 . Resolviendo para x , obtenemos x = +/- 1 y x = +/- sqrt (2).
Centro de Masa y Centro de Gravedad: Definición y ecuaciones
En este caso, tenemos un total de cuatro respuestas. Esto se debe a que nuestra súper ecuación tiene un grado de 4. Una buena verificación para asegurarnos de que tenemos todas las respuestas que necesitamos es mirar el grado de nuestra súper ecuación, nuestra ecuación cuadrática disfrazada. Cualquiera que sea el grado de la ecuación, es el número de soluciones que encontraremos. Para nuestro problema, terminamos con x = 1, x = -1, x = sqrt (2) y x = – sqrt (2).
Un ejemplo más
Resolvamos (x – 2) ^ 2-4 (x – 2) – 12 .
Podemos hacer la sustitución u = x – 2 ya que x – 2 es el disfraz de esta super ecuación. Entonces nuestra ecuación se convierte en la cuadrática u ^ 2 – 4u – 12 . Factorizando, obtenemos (u – 6) (u + 2) . Resolviendo para u , obtenemos u = 6 y u = -2. Sustituyendo nuestro u = x – 2 de nuevo, obtenemos x – 2 = 6 y x – 2 = -2 . Resolviendo para x ahora, obtenemos x = 8 y x = 0. ¡Y hemos terminado!
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido:
Las ecuaciones cuadráticas son polinomios de grado 2. A veces, veremos nuestras ecuaciones cuadráticas disfrazadas de super ecuaciones como x ^ 4 + 3x ^ 2 + 2 . Sabemos que estas son cuadráticas disfrazadas porque al hacer una sustitución, podemos convertir la súper ecuación en una ecuación cuadrática normal que podemos resolver fácilmente. Después de hacer la sustitución, resolvemos la ecuación cuadrática como lo hacemos normalmente usando las habilidades que ya hemos aprendido, como factorizar. Luego reemplazamos nuestra sustitución para encontrar nuestra respuesta final en la variable con la que comenzamos.
Escribir ecuaciones y fórmulas: Componentes, métodos y ejemplos
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya completado esta lección, debería tener la capacidad de:
- Definir ecuaciones cuadráticas
- Explica cómo resolver súper ecuaciones / cuadráticas disfrazadas por sustitución
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