Resolver ecuaciones lineales con sustitución
¡Es hora de un nuevo frigorífico! La selección se reduce a dos unidades: del mismo tamaño pero una cuesta $ 230 más. Sin embargo, la unidad más cara también es más eficiente. En algún momento, el dinero ahorrado con la unidad más eficiente compensará el costo más alto.
En esta lección, resolveremos dos incógnitas en dos ecuaciones lineales usando el método de sustitución. Esto nos ayudará a decidir qué refrigerador comprar.
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El método de sustitución
Dadas dos ecuaciones en dos incógnitas, la tarea es determinar las incógnitas para que ambas ecuaciones sean verdaderas. En el método de sustitución , elegimos una de las incógnitas y la convertimos en el tema de una de las ecuaciones. Luego sustituimos el lado derecho de esta ecuación modificada en la otra ecuación y resolvemos la incógnita restante. Luego, este valor se sustituye nuevamente en la ecuación modificada para encontrar la incógnita restante. Simplificar siempre que sea posible es una buena idea.
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Hagamos un ejemplo juntos.
Resuelve para x y y dado 2 x + 3 y = 8 y 3 x – 2 y = -1.
- Paso 1: Elija una incógnita y conviértala en el tema de una de las ecuaciones (esta es la ecuación modificada )
Elegir x como sujeto en la primera ecuación.
De 2 x + 3 y = 8,
restar 3 y de ambos lados: 2 x + 3 y – 3 y = 8 – 3 y
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simplificar: 2 x = 8 – 3 y
divide ambos lados por 2:
2 x / 2 = (8 – 3 y ) / 2
simplificar: x = 4 – 1.5 y (nuestra ecuación modificada)
- Paso 2: Sustituye el lado derecho en la otra ecuación.
De 3 x – 2 y = -1, sustituya 4 – 1.5 y por x :
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3 (4 – 1,5 y ) – 2 y = -1
simplificar: 12 – 4.5 y – 2 y = -1
simplificar: 12 – 6.5 y = -1
- Paso 3: obtenga un valor para el otro desconocido.
De 12 a 6,5 y = -1,
restar 12 de ambos lados: 12 – 6.5 y – 12 = -1-12
simplificar: -6,5 y = -13
dividir ambos lados por -6.5: -6.5 y /(-6.5) = -13 / (- 6.5)
simplificar: y = 2
- Paso 4: Sustituya este valor en la ecuación modificada y obtenga un valor para la primera incógnita.
De x = 4 – 1,5 y , sustituya y = 2:
x = 4 – 1,5 (2)
simplificar: x = 4 – 3 = 1
- Paso 5: (opcional pero una buena idea) – Sustituya las respuestas en las ecuaciones originales como verificación.
Sustituye las respuestas en 2 x + 3 y = 8.
2 (1) + 3 (2) = 2 + 6 = 8 ¡Compruebe!
Sustituye las respuestas en 3 x – 2 y = -1.
3 (1) – 2 (2) = 3 – 4 = -1 ¡Compruebe!
La respuesta que usa el método de sustitución es x = 1 e y = 2.
Ahora, volvamos a seleccionar un refrigerador.
Decidirse por un refrigerador
En este ejemplo de refrigerador, x es la cantidad de meses que se usa el refrigerador e y es el costo total. El costo total depende del precio de venta del refrigerador, así como del costo promedio mensual de energía. El costo total y no incluye mantenimiento. Un refrigerador nuevo podría estar libre de mantenimiento durante 10 años.
Veamos la información disponible para ambos refrigeradores. El precio de venta del refrigerador 1 es de $ 1600 y el costo promedio de energía es de $ 610 por año. Para el refrigerador 2, el precio de venta es $ 1830 y el costo promedio de energía es $ 564 por año. Sin entrar en los detalles, esta información conduce a ecuaciones que relacionan x e y para cada refrigerador.
Para frigorífico 1:
12 y – 610 x = 19,200
Para frigorífico 2:
3 y – 141 x = 5490
Ahora resolvemos estas dos ecuaciones usando el método de sustitución.
- Paso 1: Elija una incógnita y conviértala en el tema de una de las ecuaciones.
Elegir y como sujeto en la segunda ecuación;
Desde 3 y – 141 x = 5490,
sume 141 x a ambos lados: 3 y – 141 x + 141 x = 5490 + 141 x
simplificar: 3 y = 5490 + 141 x
divide ambos lados por 3:
3 y / 3 = (5490 + 141 x ) / 3
simplificar: y = 5490/3 + 141 x / 3 = 1830 + 47 x
Por lo tanto, tenemos y como sujeto en la segunda ecuación: y = 1830 + 47 x (la ecuación modificada).
- Paso 2: Sustituye el lado derecho en la otra ecuación.
De 12 y – 610 x = 19200, sustituya 1830 + 47 x por y :
12 (1830 + 47 x ) – 610 x = 19200
simplifica distribuyendo la multiplicación por 12:
12 (1830) + 12 (47 x ) – 610 x = 19200
simplificar: 21960 + 564 x – 610 x = 19200
simplificar: 21960 – 46 x = 19200
- Paso 3: obtenga un valor para el otro desconocido.
Desde 21960 – 46 x = 19200,
restar 21960 de ambos lados: 21960 – 46 x – 21960 = 19200 – 21960
simplificar: -46 x = -2760
dividiendo ambos lados por -46:
-46 x / (- 46) = -2760 / (- 46)
simplificar: x = 2760/46 = 60
- Paso 4: Sustituya este valor en la ecuación modificada y obtenga un valor para la primera incógnita.
Sustituyendo 60 por x en y = 1830 + 47 x :
y = 1830 + 47 (60)
simplificar: y = 4650
- Paso 5: Sustituya las respuestas en las ecuaciones originales como verificación.
Sustituye las respuestas en 12 y – 610 x = 19200.
12 (4650) – 610 (60) = 19200 ¡Compruebe!
Sustituye las respuestas en 3 y – 141 x = 5490.
3 (4650) – 141 (60) = 5490 ¡Compruebe!
Por tanto, x = 60 meses = 5 años e y = $ 4650.
Usando el método de sustitución, resolvimos dos incógnitas en dos ecuaciones lineales. En el ejemplo del refrigerador, el costo total de cada refrigerador es el mismo a los 5 años. De hecho, después de 5 años, el costo total de la unidad más cara será menor que el de la unidad menos cara. Esto informa nuestra decisión de compra: si el frigorífico debe conservarse durante al menos 5 años, el frigorífico más caro es la mejor opción económica.
Resumen de la lección
El método de sustitución es una forma de resolver las incógnitas en un conjunto de ecuaciones lineales. Los pasos son:
Paso 1: Elija una incógnita y conviértala en el tema de una de las ecuaciones (esta es la ecuación modificada )
Paso 2: Sustituye el lado derecho en la otra ecuación.
Paso 3: obtenga un valor para el otro desconocido.
Paso 4: Sustituya este valor en la ecuación modificada y obtenga un valor para la primera incógnita.
Paso 5: Sustituya las respuestas en las ecuaciones originales como verificación.
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