Resolver ecuaciones lineales simultáneas

Ecuaciones lineales simultáneas

Si un corredor en una carrera representa una ecuación lineal, entonces varios corredores en la misma carrera representan un grupo de ecuaciones lineales simultáneas, ya que todos corren la misma carrera al mismo tiempo.

Podemos definir ecuaciones lineales simultáneas como una colección de ecuaciones lineales. En matemáticas, también lo llamamos sistema de ecuaciones lineales. En realidad, el término que es más probable que veas es el sistema de ecuaciones lineales. El número de ecuaciones que tenemos en nuestro sistema de ecuaciones lineales depende del número de variables que tenemos.

Por ejemplo, si tenemos tres variables, entonces tenemos tres ecuaciones. Al igual que con nuestros corredores, si tenemos tres nombres diferentes, entonces tenemos tres corredores diferentes. Además, cada variable no tiene un exponente adjunto, al igual que cada nombre representa solo un corredor. En esta lección en video, aprenderemos cómo resolver dicho sistema. Practiquemos la resolución de este sistema:

Eliminación gaussiana

El método que usaremos se llama método de eliminación de Gauss. Este método requiere que eliminemos la primera variable en la segunda ecuación y luego las dos primeras variables en la tercera ecuación y así sucesivamente, si tenemos más variables, hasta llegar a la última ecuación donde nos quedamos con la última variable.

Para eliminar nuestras variables, vamos a sumar dos ecuaciones para poder eliminar una de las variables. Repetimos este proceso hasta que hayamos eliminado todas las variables que queríamos. Veamos cómo se hace esto.

Eliminando nuestras variables no deseadas

Podemos dejar la primera ecuación sola, ya que no hay variables que queramos eliminar aquí. En nuestra segunda ecuación, queremos eliminar la variable x . En nuestra tercera ecuación, queremos eliminar nuestra variable y . Nuestra variable x en nuestra tercera ecuación ya se ha ido, por lo que no tenemos que preocuparnos por eliminarla.

Para eliminar la variable x en nuestra segunda ecuación, miramos todas nuestras ecuaciones y vemos que podemos sumar la primera y la segunda ecuación para eliminar la variable x aquí. Al hacer esto, obtenemos (2 x + y – 3 z = – 5) + (-2 x + y + z = 3) = (2 y – 2 z = -2). Ahora podemos reemplazar nuestra segunda ecuación con esta nueva ecuación. Nuestro sistema ahora se ve así:

Luego, necesitamos eliminar la y en la tercera ecuación. Mirando todas nuestras ecuaciones nuevamente, ahora vemos que si multiplicamos nuestra tercera ecuación por -2 y luego la sumamos a la segunda ecuación, podemos eliminar nuestra variable y . Al hacer esto, obtenemos (2 y – 2 z = -2) + (-2) ( y + z = 5) = (2 y – 2 z = -2) + (-2 y – 2 z = -10) = (-4 z = -12). Esta nueva ecuación es ahora nuestra tercera ecuación. Nuestro sistema ahora se ve así:

Encontrar las soluciones

Ahora que hemos eliminado todas las variables que queríamos, podemos seguir adelante y resolver nuestro sistema. Para hacer esto, comenzamos con nuestra última ecuación para resolver nuestra última variable. Dividimos nuestra última ecuación por -4 para obtener z por sí mismo. Encontramos que z = 3.

Ahora podemos insertar este valor para z en la segunda ecuación y luego resolver esta segunda ecuación para y . Obtenemos 2 y – 2 (3) = -2, que se convierte en 2 y – 6 = -2. Sumando 6 a ambos lados, obtenemos 2 y = 4. Dividiendo entre 2, obtenemos y = 2.

Ahora que tenemos y y z , ahora podemos insertarlos en nuestra primera ecuación para resolver nuestra primera variable. Tenemos 2 x + 2-3 (3) = -5. Esto se convierte en 2 x + 2-9 = -5. Combinando términos semejantes, obtenemos 2 x – 7 = -5. Sumando 7 a ambos lados, obtenemos 2 x = 2. Dividiendo entre 2, obtenemos x = 1.

Entonces, nuestra solución completa es x = 1, y = 2 y z = 3. También podemos escribirla en forma de puntos como (1, 2, 3), donde nuestras variables aparecen en orden alfabético. ¿Ves cómo básicamente trabajamos de nuevo en la primera ecuación para resolver nuestro sistema?

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Podemos definir ecuaciones lineales simultáneas como una colección de ecuaciones lineales. En matemáticas, también lo llamamos sistema de ecuaciones lineales. Para resolver un sistema de este tipo, podemos utilizar el método de eliminación de Gauss. Este método requiere que eliminemos la primera variable en la segunda ecuación, y luego las dos primeras variables en la tercera ecuación, y así sucesivamente, si tenemos más variables, hasta llegar a la última ecuación donde nos quedamos con la última variable. Una vez que hemos eliminado todas las variables que queremos, entonces podemos comenzar con nuestra última ecuación para resolver la última variable. Luego, avanzamos hasta nuestra primera ecuación, conectando nuestras variables a medida que las encontramos y resolviendo para la siguiente variable desconocida. Seguimos hasta que hayamos resuelto todas las variables.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, tendrá la capacidad de:

• Definir ecuaciones lineales simultáneas
• Explica cómo usar el método de eliminación de Gauss para resolver estas ecuaciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador