Ecuaciones trigonométricas
En esta lección en video, veremos cómo resolver ecuaciones trigonométricas . Estas son nuestras ecuaciones que involucran funciones trigonométricas. Entonces, nuestra variable será parte del argumento de la función trigonométrica. ¿Recuerdas tus funciones trigonométricas? Tenemos nuestros básicos de seno, coseno y tangente. También tenemos cosecante, secante y cotangente.
Entonces, nuestras ecuaciones trigonométricas tendrán al menos una de estas funciones en la ecuación, como f (x) = sin (x) + 2 . Incluso podría tener una combinación de funciones trigonométricas como f (x) = cos (x) + cot (x) . ¿Observa cómo nuestra variable es parte del argumento en ambas ecuaciones? Esto es lo que hace que estas ecuaciones sean trigonométricas.
Dominios restringidos
En esta lección en video, tenemos un criterio adicional que estamos agregando a nuestras ecuaciones trigonométricas. Y esto se llama dominio restringido . ¿Qué significa esto? Significa que estamos limitando los posibles valores que puede tener nuestra variable. Debido a que estamos trabajando con ecuaciones trigonométricas, nuestra variable estará en radianes. Por lo tanto, lo más probable es que vea una pi en el dominio restringido.
Por ejemplo, puede ver f (x) = sin (x) + 2; 0 <x <pi .
Esto le dice que si está resolviendo esta función, entonces está buscando la solución que se encuentra entre 0 y pi. Recuerde que nuestras ecuaciones trigonométricas son todas periódicas, lo que significa que las soluciones se repiten de vez en cuando. Para el seno y el coseno, el período estándar es 2pi. Para la tangente, es pi. Recuerde que su calculadora solo le brinda la solución principal y es posible que deba hacer algunos cálculos adicionales para encontrar la respuesta correcta que esté dentro del dominio restringido. A veces, si nuestro dominio es demasiado restrictivo, es posible que no tengamos una solución en absoluto. Echemos un vistazo a un par de ejemplos.
¿Qué es la Ecuación de Estado de los Gases Reales?
Ejemplo 1
Resuelva f (x) = 5 cos (x); 0 <= x <= 2pi.
Este problema nos dice que encontremos las soluciones de f (x) = 5 cos (x) . Esto lo podemos hacer fácilmente. Pero espere, también nos dice que nuestras respuestas están limitadas a entre 0 y 2pi inclusive. Entonces, esto significa que cuando encontremos nuestras respuestas, debemos asegurarnos de que estén dentro de este rango. Veamos qué sale de esto.
Resolver para x significa que establecemos nuestra ecuación en 0. Obtenemos 5 cos (x) = 0 . Para resolver x , dividimos entre 5 en ambos lados y luego tomamos un arcocoseno. Obtenemos x = cos ^ -1 (0) . ¿A qué equivale esto? Nuestra calculadora nos dice que es igual a 90 grados o pi / 2 radianes. ¿Pero hemos terminado? ¿Hemos encontrado todas las respuestas? Grafiquemos nuestra función para ver:
 |
He marcado nuestro dominio restringido etiquetando el punto x = 0 y el punto x = 2pi. Simplemente miramos entre estos dos puntos para ver cuántas veces nuestro gráfico cruza el eje x . Vemos que cruza el eje x dos veces entre estos dos puntos. Eso significa que tenemos un total de dos respuestas. Encontramos nuestro primero, pi / 2. Entonces, ¿cuál es el segundo?
Ya lo he etiquetado en este gráfico. Pero si este punto no está etiquetado para usted, puede consultar su círculo unitario para que lo ayude a encontrarlo. Mirando nuestro círculo unitario, vemos que otro punto donde cos (x) es igual a 0 es cuando x = 3pi / 2:
Hipérbola: forma estándar, definición, ecuaciones y ejemplos
 |
Entonces, nuestras dos respuestas son pi / 2 y 3pi / 2. Ambas respuestas están dentro de los límites de nuestro dominio, por lo que ambas son respuestas válidas. Y ahora hemos terminado.
Ejemplo 2
Echemos un vistazo a uno más.
Resolver f (x) = sin (x) – 1; 2pi <x <3pi.
Esta vez, nuestro problema nos dice que resolvamos la ecuación f (x) = sin (x) – 1 . Podemos hacer eso estableciendo esta ecuación igual a 0.
sin (x) – 1 = 0 .
Resolver desigualdades con suma y resta de fracciones
Pero espere, esta vez nuestro dominio está limitado a entre 3pi y 4pi no inclusivo. Hmm, entonces nuestra respuesta debe estar entre 2pi y 3pi. Bueno. Resolvamos nuestra ecuación para ver qué obtenemos primero. Sumando 1 a ambos lados, obtenemos sin (x) = 1 . Tomando el arcoseno de ambos lados, obtenemos x = sin ^ -1 (1) . El arcoseno de 1 nos da 90 grados o pi / 2 radianes. Hmm. Esto no está dentro de nuestro dominio.
¿Asi que que hacemos? Recordamos que nuestra función seno tiene un período de 2pi, lo que significa que nuestras soluciones se repiten cada 2pi. Entonces, podemos agregar 2pi a pi / 2. Obtenemos 5pi / 2. Ajá, esto es entre 2pi y 3pi. Entonces, 5pi / 2 es una de nuestras respuestas. Sin embargo, ¿tenemos más? Grafiquemos esta ecuación para ver si tenemos más soluciones dentro de nuestro dominio.
 |
He marcado nuestro dominio con líneas verticales azules. Entonces, estamos buscando una solución entre esas líneas. ¿Cuántas veces nuestro gráfico cruza o toca el eje x entre estas líneas? Solo una vez, eso significa que solo tenemos una solución. Ya tenemos esa única solución: 5pi / 2. ¡Así que hemos terminado!
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que las ecuaciones trigonométricas son las ecuaciones que incluyen funciones trigonométricas. Un dominio restringido significa que estamos limitando los posibles valores que puede tener nuestra variable.
Si su problema tiene un dominio restringido, lo mostrará junto al problema. Cuando tenemos un problema con un dominio restringido, significa que necesitamos encontrar soluciones que estén dentro del dominio restringido. Recordamos que nuestras funciones trigonométricas son periódicas. Nuestras funciones seno y coseno tienen un período estándar de 2pi y nuestra función tangente tiene un período estándar de pi. Si una función es periódica, significa que las soluciones se repiten de vez en cuando. Al resolver, nuestras calculadoras solo darán la respuesta principal. Si esta respuesta está fuera del dominio restringido, entonces necesitamos hacer un cálculo adicional basado en el período de nuestra ecuación para encontrar la respuesta correcta dentro de nuestro dominio restringido.
Los resultados del aprendizaje
Cuando termine la lección, pruebe sus conocimientos haciendo lo siguiente:
- Reconocer ecuaciones trigonométricas y dominio restringido
- Resolver problemas trigonométricos con dominios restringidos
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
