Resolver problemas usando la fórmula cuadrática

Fórmula cuadrática

Odiaba trabajar con la fórmula cuadrática hasta que me di cuenta de que en realidad me ayudaba con mis problemas. Y a veces, incluso acortó mi problema, ya que me dio lo que necesitaba saber al principio del proceso de resolución. En este momento, la fórmula cuadrática puede parecer una bestia, pero piense en ella como un príncipe disfrazado. Está aquí para ayudarte. La fórmula cuadrática le permite resolver ecuaciones cuadráticas en la forma de ax ^ 2 + bx + c = 0 y se define como x = (- b +/- sqrt ( b ^ 2 – 4 ac )) / 2 a .

Los unos , b , y c cartas provienen de la ecuación cuadrática que está resolviendo. Veamos cómo funciona esto.

Dos Soluciones

El primer problema que vamos a resolver es x ^ 2 + 5 x + 6 = 0. ¿Cómo calculamos nuestras letras? Bueno, comparamos esto con la forma general de una cuadrática: ax ^ 2 + bx + c . Una buena forma de hacer esto es escribir la forma general sobre su cuadrática para que pueda ver cómo se alinea todo. Lo que estamos buscando es la ubicación de nuestro x ^ 2, nuestro x , y nuestro número por sí mismo. Entonces podemos averiguar qué representan nuestras letras.

En nuestra forma general, el número adjunto a x ^ 2 es la letra a . Entonces, mirando mi cuadrática, veo que no hay nada delante de x ^ 2, lo que significa que hay un 1 allí, entonces eso significa que mi a = 1. Bien.

A continuación, busco lo que está delante de la x . Veo un 5, lo que significa que mi b = 5. El número en sí mismo es un 6, entonces mi c = 6. Ahora tengo todas mis letras. Sin embargo, si le faltan términos, eso significa que la letra que coincide con ese término faltante es igual a cero. En este punto, la fórmula cuadrática se convierte en un príncipe para ayudarte. Para resolverlo, todo lo que necesita hacer es insertar todas las letras donde pertenecen y evaluar la fórmula.

Hagámoslo.

Conectamos nuestros números para obtener x = (-5 +/- sqrt (5 ^ 2-4 * 1 * 6)) / 2 * 1. Comenzamos a evaluar calculando primero lo que hay dentro de la raíz cuadrada.

x = (-5 +/- raíz cuadrada (25-24)) / 2 * 1

x = (-5 +/- sqrt (1)) / 2 * 1

Mira eso. Tenemos un 1 dentro de la raíz cuadrada. Es un número positivo dentro del cuadrado, por lo que sabemos que podemos calcularlo. Si conocemos la raíz cuadrada de la parte superior de nuestra cabeza, podemos seguir adelante y escribir ese número. De lo contrario, puede usar una calculadora para encontrar la raíz cuadrada exacta. En nuestro caso, sabemos que la raíz cuadrada de 1 es 1, así que lo escribiremos.

x = (-5 +/- 1) / 2 * 1

Nuestra fórmula incluye un +/-, por lo que tenemos que dividir nuestro problema en dos problemas, uno para el más y otro para el menos. Entonces:

x = (-5 + 1) / 2 * 1 y x = (-5 – 1) / 2 * 1

Ahora, podemos terminar de resolver estos dos pequeños problemas.

x = -4 / 2 y x = -6 / 2

Entonces:

x = -2 y x = -3

Y sí, tenemos dos soluciones. La mayoría de las veces, terminará con dos soluciones como esta. Si no son números enteros, entonces serán números decimales. La forma en que puede saber que tiene dos soluciones como esta es si obtiene un número positivo dentro de su raíz cuadrada.

Hay dos casos más que le darán diferentes números de soluciones. Veamos qué sucede cuando la raíz cuadrada termina en 0.

Una solución repetida

Esta vez, nuestro problema es x ^ 2 + 4 x + 4 = 0. Comparando esto con nuestra forma general de ax ^ 2 + bx + c , vemos que nuestra a = 1, nuestra b = 4 y nuestra c = 4 .Sustituir estos valores en nuestra fórmula cuadrática nos da x = (-4 +/- sqrt (4 ^ 2 – 4 * 1 * 4)) / 2 * 1. Al evaluar la raíz cuadrada, encontramos que es igual a cero.

x = (-4 +/- sqrt (16 – 16)) / 2 * 1

x = (-4 +/- sqrt (0)) / 2 * 1

Entonces:

x = (-4 +/- 0) / 2 * 1

Ahora, dividimos nuestro problema en dos y lo resolvemos.

x = (-4 + 0) / 2 * 1 y x = (-4 – 0) / 2 * 1

x = -4 / 2 y x = -4 / 2

Entonces:

x = -2 y x = -2

Oye, tenemos dos soluciones, ¡pero son la misma respuesta! Bastante bien, ¿eh? Entonces, si su raíz cuadrada termina en cero, entonces sabrá que obtendrá la misma solución dos veces.

Hay un caso especial más y es cuando su raíz cuadrada es negativa por dentro.

Sin soluciones reales

Cuando su raíz cuadrada es negativa por dentro, en realidad hace que su problema sea mucho más corto. Veamos cómo.

Nuestro problema es x ^ 2 + 2 x + 3 = 0. Vemos que nuestra a = 1, nuestra b = 2 y nuestra c = 3. Al conectarlos a nuestra fórmula cuadrática, obtenemos x = (-2 +/- sqrt (2 ^ 2 – 4 * 1 * 3)) / 2 * 1.

x = (-2 +/- sqrt (4 – 12)) / 2 * 1

x = (-2 +/- sqrt (-8)) / 2 * 1

Al evaluar el interior de nuestra raíz cuadrada, vemos que tenemos un interior negativo. ¿Qué sabemos sobre las raíces cuadradas? Sabemos que no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo. ¿Qué significa esto para nosotros? Significa que tenemos que detenernos aquí, porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo en el mundo real. Significa que nuestro problema no tiene soluciones reales y hemos terminado. Ponemos ‘ninguna solución real’ como nuestra respuesta.

Resumen de la lección

En esta lección, hemos aprendido algunas cosas interesantes sobre la fórmula cuadrática. Sabemos que la fórmula cuadrática nos permite resolver problemas en la forma general de ax ^ 2 + bx + c = 0 y se define como x = (- b +/- sqrt ( b ^ 2 – 4 ac )) / 2 a .

Hemos aprendido que la parte de la raíz cuadrada de la fórmula nos dice cuántas soluciones obtendremos. Si es positivo, entonces tendremos dos soluciones diferentes. Si es cero, entonces tenemos dos soluciones, pero son iguales, simplemente repetidas. Y, si es negativo dentro de la raíz cuadrada, entonces no tenemos soluciones reales. No es tan horrible trabajar con la fórmula cuadrática, especialmente cuando nos ayuda a saber si tenemos el número correcto de soluciones o no.

Los resultados del aprendizaje

Tendrá la capacidad de hacer lo siguiente después de esta lección:

• Identifica la fórmula cuadrática y explica cuándo puedes usar esta fórmula.
• Explica cómo determinar el número de soluciones basadas en el término de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática.
• Resolver problemas usando la fórmula cuadrática

Rodrigo Ricardo Editor y fundador