Rodrigo Ricardo

Resolver y graficar desigualdades de dos variables

Publicado el 22 noviembre, 2020

Definición de desigualdades de dos variables

Cuando tenemos una desigualdad con dos variables, no podemos simplemente escribir la solución en una declaración matemática corta como x <1, y no podemos mostrarla simplemente en una recta numérica. Dos variables significan dos dimensiones, por lo que necesitamos graficarlas en una cuadrícula, papel cuadriculado o algo similar.

Resolver desigualdades versus resolver ecuaciones

Así como resolvemos una desigualdad como 3x + 2> 4 usando casi todas las mismas técnicas que cuando resolvemos la ecuación 3x + 2 = 4, comenzamos el proceso de resolver y <2x – 3 trabajando con y = 2x – 3.

Graficar la ecuación

Si hacemos una gráfica de y = 2x – 3, podemos tomar algunos valores de x, como 1, 2, 3 y 4, y para cada uno, podemos encontrar el valor de y que lo acompaña:

Si x = 1, entonces y = 2 (1) – 3 = 2-3 = -1, entonces el par ordenado (x, y) = (1, -1) va en la gráfica.

Si x = 2, entonces y = 2 (2) – 3 = 4 – 3 = 1, entonces el par ordenado (2,1) va en la gráfica.

Si x = 3, entonces y = 2 (3) – 3 = 6 – 3 = 3, entonces (3,3) va en la gráfica.

Si x = 4, entonces y = 2 (4) – 3 = 8 – 3 = 5, entonces (4,5) va en la gráfica.

y = 2x - 3

Ahora que tenemos algunos puntos, podemos dibujar una línea como esta:

y = 2x - 3 líneas

La desigualdad

Ahora, esto es bueno, pero ¿qué pasa con y <2x – 3? Eche un vistazo a esto: si tomamos el par (1, -1) para (x, y) y los colocamos en la desigualdad, obtenemos

-1 <2 (1) – 3

-1 <2-3

-1 <-1.

Eso no es cierto, ya que -1 no puede ser menos que él mismo. Esto significa que todos nuestros puntos están descartados (¡pruébelos!) Y que todos los puntos de la línea están descartados (puede elegir un punto de la línea y probarlo también). En ese caso, ¿estamos perdiendo el tiempo? No, pronto verá por qué no. Ahora mismo, sin embargo, cambiemos la línea continua a una línea de puntos para mostrar que los puntos exactos no son parte del conjunto de soluciones ; es decir, el conjunto de todas las posibles soluciones.

y = 2x - 3 línea de puntos

¿Si fuera -1? -1, eso estaría bien, porque -1 es igual a sí mismo, así que si nuestra desigualdad usa? o?, entonces no tenemos que cambiar la línea a una línea de puntos.

Todavía necesitamos algunos puntos que hagan que la desigualdad sea verdadera, ¿y ahora qué? Probemos el par ordenado (0,0) y veamos si hace que la desigualdad sea verdadera:

0 <2 (0) – 3

0 <-3: ¡pero eso no es cierto!

El punto (0,0) no forma parte del conjunto de soluciones. De hecho, cada punto en el lado izquierdo / superior de la línea punteada hace que la desigualdad sea falsa. ¿Qué tal un punto en el otro lado? Probemos (2, -1), ya que podemos ver ese punto en nuestro gráfico:

-1 <2 (2) – 3

-1 <4-3

-1 <1.

Eso es cierto, entonces (2, -1) es parte del conjunto de soluciones. De hecho, resulta que cada punto en el lado derecho / inferior de la línea es parte del conjunto de soluciones. Podemos mostrar esto sombreando todo el lado del gráfico, así:

y menos de 2x - 3

¡Ahora hemos terminado! El área sombreada indica el conjunto de soluciones completo. Por supuesto, así como la línea punteada sube y baja indefinidamente, el área sombreada también sube, baja y hacia la derecha para siempre, aunque nunca cruza la línea punteada. Después de todo, mientras (1, -1) no es una solución, (1, -1.0001) sí lo es. Solo para estar seguros, verifiquémoslo:

-1,00001 <2 (1) – 3

-1,00001 <2 – 3

-1,00001 <-1.

Resumen

Si queremos resolver una desigualdad en dos variables, podemos seguir una estrategia simple:

  1. Resuelve la ecuación que obtienes sustituyendo un signo = por el símbolo de desigualdad.
  2. Grafique la línea trazando algunos puntos y trazando la línea que los atraviesa.
  3. Si el símbolo de desigualdad era <o>, cambie la línea a una línea de puntos.

Por último, prueba la desigualdad con un punto que esté a un lado de la línea. Si los valores xey hacen que nuestra desigualdad sea verdadera, sombreamos el lado que contiene nuestro punto de prueba. Si hacen que la desigualdad sea falsa, sombreamos el otro lado.

Lección de un vistazo

La resolución de una desigualdad debería graficarse, ya que hay dos variables involucradas. Esto es diferente a simplemente resolver una ecuación, ya que una desigualdad con dos variables implica dos dimensiones.

Resultado de aprendizaje

Al completar esta lección, debería poder resolver una desigualdad con dos variables.

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