Resuelva ecuaciones trigonométricas con identidades e inversas

Ecuaciones trigonométricas

Estás estudiando para un próximo examen de matemáticas y ves que en la lista está resolver ecuaciones trigonométricas , ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. Empiezas a pensar en lo que aprendiste sobre la resolución de ecuaciones trigonométricas y recuerdas cómo son las ecuaciones. Recuerda que la variable es parte del argumento de la función trigonométrica. Obtienes ecuaciones como cos (x) = 1 y necesitas encontrar lo que x es igual. También recuerda que nuestras respuestas se repiten en función del período de la función trigonométrica.

Identidades e inversas

También piensa en las identidades trigonométricas , o enunciados trigonométricos verdaderos, que aprendió, como la identidad pitagórica de sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1 y otras. Recuerda que hay muchas identidades trigonométricas que se han probado formalmente a lo largo de los años a las que puedes hacer referencia, pero solo tenías que recordar las que se usan con más frecuencia que las otras, como las identidades de suma y diferencia de ángulos, identidades de doble ángulo , suma a las identidades del producto, etc.

Si es necesario, tómate un momento para refrescarte sobre estas identidades. (Consulte nuestra lección ‘Identidades trigonométricas: definición y usos’ aquí en este sitio o investigue en Internet). También recuerde que para obtener la variable por sí misma en una ecuación como cos (x) = 1, debe aplicar la función inversa. Entonces, cos (x) = 1 se convierte en x = cos ^ -1 (1). Cada una de nuestras tres funciones trigonométricas básicas tiene una función inversa asociada. La inversa de la función seno se llama arcoseno, la inversa de la función coseno se llama arcocoseno y la inversa de la función tangente se llama arcotangente. En matemáticas, notamos la función inversa con un exponente de -1.

Todo esto lo recuerdas. Entonces, ahora se trata de ponerlo todo junto para ayudarte a resolver ecuaciones trigonométricas más complicadas. Echemos un vistazo a un par.

Ejemplo 1

Resuelva 2 sin (x) – 1 = 0 para x entre 0 y pi / 2.

Para resolver este problema, primero necesitamos obtener nuestra función trigonométrica por sí misma. Sumamos el 1 a ambos lados y luego lo dividimos por 2. Obtenemos sin (x) = 1/2. Ahora podemos aplicar la función de seno inverso a ambos lados para obtener la x por sí misma. Obtenemos x = sin ^ -1 (1/2). Mirando el círculo unitario, tenemos dos posibles respuestas que encajan. Tenemos pi / 6 y 5pi / 6 radianes. Cual es la respuesta correcta?

Circulo unitario

Estas respuestas también se repiten cada 2pi, ya que nuestra función seno tiene un período de 2pi. Entonces, ¿cómo elegimos el correcto? Observamos lo que nos dice el problema sobre las posibles respuestas para x . Nos dice que nuestra x debe estar entre 0 y pi / 2. Entonces, ¿cuál de pi / 6 y 5pi / 6 está dentro de este rango? Pi / 6 es, entonces esta es la respuesta correcta.

Ejemplo 2

Veamos uno más:

Resuelva cos (x) sin ^ 2 (x) + cos ^ 3 (x) + 1 = 0.

Este parece un poco más complicado que el otro. Parece que podría tener una identidad trigonométrica. Veamos si podemos descartar algo.

Podemos factorizar un cos (x) de los dos primeros términos. Obtenemos cos (x) (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x)) + 1 = 0. Oye, ¿no es la parte sobrante de nosotros factorizando el cos (x) la identidad pitagórica? Entonces, eso significa que podemos sustituir esa parte entera con un 1. Obtenemos cos (x) (1) + 1 = 0. El coseno multiplicado por 1 es el mismo, por lo que podemos reescribirlo como cos (x) + 1 = 0. Restando 1 de ambos lados obtenemos cos (x) = -1. Tomando el arcocoseno de ambos lados nos da x = cos ^ -1 (-1). Usando nuestro círculo unitario, obtenemos una respuesta de pi radianes. Sabemos que nuestra función coseno tiene un período de 2pi, por lo que nuestra respuesta completa es pi + 2pi * n, lo que nos dice que nuestra respuesta se repite cada 2pi. Tenemos esto para nuestra respuesta final porque nuestro problema no limitó nuestra respuesta de ninguna manera, por lo que tenemos que cubrir todas nuestras respuestas.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido:

Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. Las identidades trigonométricas son verdaderas declaraciones trigonométricas. Para resolver problemas trigonométricos más complicados, es posible que tengamos que simplificar nuestro problema haciendo uso de nuestras identidades trigonométricas antes de aplicar la función inversa para aislar nuestra variable. Tenemos en cuenta que debido a que todas las funciones trigonométricas tienen un punto, las respuestas se repiten de vez en cuando. Tenemos que asegurarnos de cubrir todas las respuestas en función del período de la función o de que nuestra respuesta esté dentro del dominio especificado o posible rango de soluciones.

Los resultados del aprendizaje

Trabaje con esta lección en video para:

• Reconocer ecuaciones trigonométricas e identidades trigonométricas.
• Hacer uso de identidades trigonométricas para resolver ecuaciones
• Describir la importancia del período de una función trigonométrica al resolver problemas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador