Sacar la raíz cuadrada del negativo 4

Preparando el problema

¿Cómo es posible sacar la raíz cuadrada de -4? Echemos un vistazo a un problema de muestra con el que podría encontrarse y en el que necesitaría poder realizar este tipo de operación.

Scott está resolviendo un problema en su clase de álgebra en el que busca números que resuelvan ecuaciones polinomiales. Los primeros van sin problemas, pero luego llega a uno que lo tiene perplejo:

x ^ 2 + 4 = 0

Scott sabe restar 4 de ambos lados y termina con esto:

x ^ 2 = -4

Sin embargo, Scott no sabe a dónde ir después de eso. No puede pensar en ningún número que satisfaga esta ecuación. ¿Qué número podría ser negativo cuando se multiplica por sí mismo? Echemos un vistazo más de cerca y veamos si podemos ayudar a Scott con su problema.

Primero, veamos las propiedades de la multiplicación de números reales para ver si podemos encontrar una solución. Los números reales son cualquier número en la recta numérica: todos los números negativos, todos los números positivos y cero.

Lo sabemos:

1. Un número positivo multiplicado por un número positivo es un número positivo.
2. Un número positivo multiplicado por un número negativo es un número negativo.
3. Un número negativo multiplicado por un número positivo es un número negativo.
4. Un número negativo multiplicado por un número negativo es un número positivo.

Para los números reales, no hay ningún número que multiplicado por sí mismo resulte en un número negativo. Eso significa que no hay una solución de números reales cuando se trata de encontrar nuestra solución. Pero, si no podemos usar números reales, ¿qué deja eso? Analicemos esto más.

La única forma posible de ayudar a Scott a resolver esta ecuación es definir un número, de modo que el cuadrado de ese número sea -1.

¿Por qué haríamos tal cosa? ¿De qué me serviría hacer esto? Bueno, estas son preguntas excelentes que tienen respuestas igualmente interesantes, pero largas. Baste decir que los matemáticos tardaron cientos de años en pasar de conceptualizar la existencia de tal número a formalizar reglas para él, y luego les llevó muchos, muchos años más encontrar una aplicación práctica para el concepto de raíz cuadrada de -1.

Los matemáticos han decidido llamar a este número, que es la raíz cuadrada de -1, i . Los números reales no incluyen el número i . En cambio, se dice que cualquier número que incluya i es parte de los números complejos o incluso del sistema numérico imaginario .

Ahora que tenemos un número para usar cuando sacamos la raíz cuadrada de uno negativo, podemos extender nuestra investigación de encontrar la raíz cuadrada de -4 en una línea más:

Solución

Esto significa que hay exactamente dos números complejos que, al elevarlos al cuadrado, serán -4: +2 i y -2 i .

Comprobación de su trabajo y otras propiedades de i

Antes de comprobar nuestro trabajo, será útil conocer algunas otras propiedades de i . Específicamente, qué sucede cuando elevamos i a potencias 2 o más. Ya sabemos que cuando elevamos i y – i será igual a -1.

yo ^ 2 = -1

yo ^ 3 = yo ^ 2 x yo = (-1) ( yo ) = – yo

yo ^ 4 = yo ^ 2 x yo ^ 2 = (-1) (-1) = 1

yo ^ 5 = yo ^ 2 x yo ^ 2 x yo = (-1) (-1) ( yo ) = yo

Después de eso, el ciclo se repetirá.

Revisemos para asegurarnos de que nuestras respuestas funcionen:

Ahora que tenemos esas respuestas, revisemos nuestro trabajo trabajando el problema al revés. ¿Obtenemos -4 cuando elevamos al cuadrado 2 i y -2 i ?

(+2 yo ) (+ 2 yo ) = 4 yo ^ 2 = 4 (-1) = -4

Entonces +2 i funciona, ¿qué pasa con -2 i ?

(-2 yo ) (- 2 yo ) = +4 yo ^ 2 = 4 (-1) = -4

Nuestras dos respuestas terminan dando -4 cuando se eleva al cuadrado, por lo que ambas son soluciones a la raíz cuadrada de menos 4.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador