Secciones cónicas en formas polares y paramétricas

Secciones cónicas

Las secciones cónicas son un grupo interesante de formas. Incluyen el círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola. ¿Qué tienen de especial estas formas? Si toma un par de conos, como conos de tráfico o incluso conos de gofres de helado, coloque los dos punta con punta y luego comience a cortarlos de diferentes maneras, encontrará que puede obtener todas estas formas dependiendo de cómo lo haga. cortar los conos. También definimos secciones cónicas como cualquier forma que podamos obtener cortando dos conos colocados de punta a punta.

Todas las secciones cónicas también comparten un rasgo interesante. Es que la relación entre la distancia desde cualquier punto de la curva de nuestra sección cónica hasta un punto llamado foco y la distancia perpendicular desde el mismo punto hasta una línea recta, llamada directriz, siempre será la misma. Entonces, para todos los puntos en una sección cónica, la (distancia al foco) / (distancia a la directriz) siempre será la misma. Por supuesto, la relación será diferente para diferentes secciones cónicas.

La relación de una elipse, una parábola y una hipérbola

Por ejemplo, una elipse tendrá una proporción de menos de 1, una parábola tendrá una proporción de 1 y una hipérbola tendrá una proporción de más de 1. Esta proporción también tiene un nombre. Lo llamamos la excentricidad de una sección cónica. Si multiplicamos la distancia desde cualquier punto de una sección cónica a la directriz y la multiplicamos por la excentricidad, obtendremos la distancia desde ese punto hasta el foco.

Así como nuestra relación es diferente para diferentes formas cónicas, también lo es nuestra excentricidad. Una elipse tiene una excentricidad entre 0 y 1, una parábola tiene una excentricidad de 1 y una hipérbola tiene una excentricidad mayor que 1. Nuestro círculo tiene una excentricidad de 0. Puedes pensar en la excentricidad como lo lejos que está la forma de un circulo. Cuanto mayor sea la excentricidad, menos curvada será la sección cónica. Una línea recta, por ejemplo, tiene una excentricidad infinita.

Hay un término más que define nuestras secciones cónicas. Es latus recto. Lo sé, parece que se está refiriendo a algo a lo que no debería referirse, pero matemáticamente, se refiere a la línea que pasa por el foco en paralelo a la directriz.

En matemáticas, tenemos varias formas diferentes de representar estas formas. Podemos escribir las ecuaciones para estas formas en forma estándar, en forma paramétrica o en forma polar. Sigue mirando y aprenderás cómo se ve cada uno.

Estándar desde

Veamos primero la forma estándar de estas ecuaciones. Estas son las ecuaciones que todos estamos acostumbrados a ver. Ya sabes, los que tienen x e y . Entonces, en forma estándar, la única ecuación que cubre todas nuestras secciones cónicas es esta:

Sí, a partir de esta única ecuación, podemos obtener todas las formas diferentes. Nuestros coeficientes serán diferentes para cada forma. No entraremos en las matemáticas involucradas en la transformación de esta ecuación en las ecuaciones específicas de cada una de nuestras formas, pero esta ecuación se transforma en las siguientes ecuaciones para cada forma:

Todas estas ecuaciones tienen tanto una x ^ 2 como una y ^ 2. La pequeña una y B determinan cuán grande o pequeño es nuestra forma. La mayoría de las veces se encontrará con las ecuaciones individuales para las formas. Difícilmente se encontrará con la ecuación general. Pero cuando llegue a matemáticas superiores, será bueno que sepa de dónde provienen sus ecuaciones individuales. Busque patrones para estas ecuaciones cuando intente memorizarlas.

Forma paramétrica

A continuación, entremos en forma paramétrica. Recuerde que en forma paramétrica tomamos nuestras ecuaciones estándar y luego definimos cada una de nuestras variables en términos de un solo parámetro. A este parámetro lo llamaremos t para esta lección en video. Tenemos lo siguiente para nuestras ecuaciones de forma paramétrica:

La clave para recordar estas ecuaciones es vincular nuestras ecuaciones de forma estándar individuales con varias identidades trigonométricas porque de ahí es de donde se derivan estas ecuaciones de forma paramétrica. Sin embargo, hasta que memorice todas estas ecuaciones, le sugiero que las escriba. Cuanto más las escriba, más fácil será memorizarlas.

Forma polar

Ahora, veamos nuestra forma polar final de nuestras secciones cónicas. Éste es el más simple. Recuerda que en forma polar, escribimos en términos de nuestro radio y nuestro ángulo. Cuando graficamos, primero graficamos el radio, qué tan lejos está nuestro punto del origen, y luego encontramos el ángulo que forma nuestro radio con el eje x positivo . Así que en lugar de tener ecuaciones en x e y , tenemos ecuaciones en R y theta . En forma polar, tenemos una sola ecuación para nuestra forma polar que cubre todas nuestras formas. Es este:

La pequeña e aquí representa la excentricidad de nuestra sección cónica y la pequeña l representa la mitad del latus recto. Lo llamamos recto semi-latus. Nuevamente, e es 0 para un círculo, entre 0 y 1 para una elipse, 1 para una parábola y mayor que 1 para una hipérbola.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora:

Esta lección trata principalmente sobre las diferentes formas en que puede escribir una sección cónica. Es bueno conocerlos para que, cuando los encuentre, pueda identificarlos fácilmente como secciones cónicas. Definimos una sección cónica como cualquier forma que podamos obtener cortando dos conos colocados de punta a punta.

También definimos algunas características clave de las secciones cónicas. Todas las secciones cónicas tienen la misma relación entre la distancia del foco y la distancia de la directriz. El foco es un punto y la directriz es una línea recta. Esta relación se llama excentricidad de nuestra sección cónica. Esta excentricidad es 0 para un círculo, entre 0 y 1 para una elipse, 1 para una parábola y más de 1 para una hipérbola. El recto latus es la línea que pasa a través del foco paralelo a la directriz. El recto semi-latus es la mitad del recto latus.

Ahora en nuestras ecuaciones. En forma estándar, la ecuación que cubre todas nuestras formas cónicas es esta:

Individualmente, las ecuaciones en forma estándar son las siguientes:

En forma paramétrica, son estos:

Y finalmente, en forma polar, es esta que cubre todas las formas:

La e pequeña es la excentricidad de la sección cónica y la l es el recto semi-latus.

Los resultados del aprendizaje

Tendrá la capacidad de hacer lo siguiente después de esta lección:

• Definir y describir las características clave de las secciones cónicas.
• Identificar las ecuaciones de forma estándar, forma paramétrica y forma polar para secciones cónicas.