Simplificación de números complejos: notación de Euler
El número imaginario
En algún momento de tu vida, probablemente hayas encontrado el número imaginario, i . En caso de que no lo haya hecho, i se define como la raíz cuadrada de -1. En otras palabras, es un número de modo que i ² = -1. Se llama número imaginario porque no hay una raíz cuadrada real de -1. Aunque parezca que estamos inventando una respuesta a un problema (lo que estamos haciendo, en cierto sentido), este número imaginario i se usa para ayudar a resolver muchos problemas en matemáticas aplicadas, especialmente aquellos que involucran análisis de frecuencia.
Usando i podemos hablar de números complejos. Los números complejos son números de la forma x + yi , donde x y y son números reales. Al igual que los números reales, podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos. En esta lección, aprenderá una notación para representar números complejos llamada notación de Euler . La notación de Euler facilita mucho el proceso de multiplicar y dividir números complejos. Sin embargo, para comprender la notación de Euler, necesitamos comprender el plano complejo.
El plano complejo
¿Recuerda haber usado una recta numérica para representar números, como la que se muestra a continuación?
Las rectas numéricas son una forma útil de representar números reales. Podemos representar números complejos de manera similar:
El eje horizontal se llama eje real; eso es lo que representa el pequeño Re. Piense en esto como la recta numérica real original. Trazamos la x en x + yi en esta dirección. Debido a esto, llamamos x la parte real del número complejo. El eje vertical es el eje imaginario, por eso está etiquetado Im. Esta es la dirección en la que graficamos y . Debido a esto, llamamos y a la parte imaginaria del número complejo. Entonces, el punto ( x , y ) en este plano representa x + yi . Por ejemplo, aquí está el punto 3 + 1 i trazada en el plano complejo:
Observe que está graficado en el punto (3,1), ya que 3 es la parte real del número complejo y 1 es la parte imaginaria.
Un cambio de coordenadas
¿Alguna vez has oído hablar de las coordenadas polares? Las coordenadas polares son una forma diferente de trazar números en un plano. Piense en ello como una forma diferente de dar direcciones a un punto. En lugar de decirle a alguien qué tan lejos hacia la izquierda o hacia la derecha y hacia abajo o hacia arriba para llegar a un punto, le dices que comience en el origen, que mire en cierto ángulo y luego que recorra una cierta distancia en esa dirección. Representamos coordenadas como ( r , θ), donde r es la distancia desde el origen y θ es el ángulo de rotación, medido desde el eje real positivo, medido en radianes. Tenga en cuenta que esto significa que r siempre será positivo para un punto que no sea el origen.
En la imagen de arriba, θ es como se muestra en la imagen y r es la longitud de la flecha verde. Aquí hay una gráfica del punto ( r , θ) = (2, π / 4).
Usando trigonometría, podemos determinar las siguientes identidades:
x = r cosθ
y = r sinθ
r ² = x ² + y ²
tanθ = y / x
Usando estas identidades, podemos escribir el número complejo x + yi en forma polar. La forma polar de un número complejo es r (cosθ + i sinθ), donde ( r , θ) son las coordenadas polares del número complejo en el plano complejo. Llamamos x + yi la forma rectangular de un número complejo.
Notación de Euler
En la década de 1740, un matemático llamado Euler, usando principios de cálculo, encontró la siguiente fórmula, ahora llamada Fórmula de Euler :
e yo θ = cosθ + yo sinθ
Usando la fórmula de Euler y las coordenadas polares para números complejos, encontramos lo siguiente:
x + yi = r (cosθ + i senθ) = r e yo θ
La notación r e i θ para un número complejo se llama Notación de Euler .
Conversión a la notación de Euler
La conversión de la notación de Euler a la forma rectangular es sencilla; simplemente usamos las identidades x = r cosθ y y = r sinθ. El siguiente es un ejemplo de tal conversión:
Convertir de forma rectangular es un poco más desafiante. Convirtamos el número complejo -3 + 3 i a la notación de Euler. Primero, necesitamos encontrar r .
Encontrar θ es un poco más difícil. Necesitamos saber en qué cuadrante del plano complejo estará este punto. Un vistazo rápido nos dice que el punto (-3, 3) está en el Cuadrante II.
Como tanθ = y / x , veamos qué nos da tan -1 ( y / x ):
Tracemos este ángulo en la misma cuadrícula que el punto (-3,3):
Debido a la naturaleza de la función tan -1 , estamos fuera de un ángulo de 180 °, o π.
Esto sucederá siempre que nuestro punto esté en el Cuadrante II o III. Ajustamos agregando π a lo que obtengamos de tan -1 ( y / x ). Si el punto está en el cuadrante I o IV, no será necesario ningún ajuste. Si no está seguro, simplemente trace el punto y el ángulo para verificar.
Esto nos dice que
¿Por qué nos importa?
Normalmente, la multiplicación y división complejas se ve así:
Usando reglas de exponentes, la notación de Euler nos permite hacer el siguiente proceso mucho más simple:
A continuación, se muestran algunos ejemplos que utilizan este proceso:
Resumen de la lección
Los números complejos se pueden representar de varias formas, incluida la forma rectangular , la forma polar y la notación de Euler . Podemos convertir entre forma rectangular y notación de Euler usando identidades trigonométricas. La multiplicación y división de números complejos es mucho más simple cuando los números están en notación de Euler.
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