Números complejos
Permítame hacerle una pregunta. ¿Cuál es la raíz cuadrada de -1? Hmm… la raíz cuadrada de un número x es el número que da x cuando se multiplica por sí mismo. Entonces queremos encontrar un número que dé -1 cuando se multiplica por sí mismo. Una suposición lógica sería 1 o -1, pero 1 ⋅ 1 = 1 no -1, y -1 ⋅ -1 = 1 no -1. ¿Todavía perplejo?
Resulta que la raíz cuadrada de -1 es igual al número imaginario i .
- i = √ (-1), entonces yo ⋅ i = -1
Genial, pero ¿por qué estamos hablando de números imaginarios? Es porque queremos hablar de números complejos y simplificar números complejos. Para entender qué es un número complejo, necesitamos saber qué es un número imaginario.
Los números complejos son números en forma de a + bi , donde a y b son números reales e i es el número imaginario √ (-1). Llamamos a la parte real del número y bi la parte imaginaria .
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Estos números complejos pueden parecer desconocidos, pero en realidad ha estado tratando con ellos desde que aprendió su primer número. Esto se debe a que los números reales son números complejos, a + bi , donde b = 0. Por ejemplo, el número 7 es un número complejo, porque 7 = 7 + 0 i .
Debido a que los números complejos tienen partes imaginarias con el número i , la simplificación puede ocurrir cuando multiplicamos y dividimos estos tipos de números. Veamos tanto la multiplicación como la división de números complejos.
Multiplicación de números complejos
Dado que los números complejos tienen dos términos, usamos el método FOIL para multiplicarlos, como lo haríamos si estuviéramos multiplicando binomios: Primero (F), Externo (O), Interno (I) y Último (L).
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Veamos lo que sucede cuando multiplicamos números complejos usando el método FOIL al multiplicar a + bi y c + di .
| ( a + bi ) ( c + di ) | FRUSTRAR |
| ac + adi + bci + bdi 2 | Factoriza i de los dos términos del medio y reemplaza i 2 con -1. |
| ac + ( ad + bc ) i + bd (-1) | Simplificar |
| ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i | Resultado |
La simplificación tiene lugar porque i 2 = -1. Por ejemplo, considere multiplicar 1 + 3 i y 2 – 4 i .
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Obtenemos que (1 + 3 i ) (2-4 i ) = 14 + 2 i . Esta simplificación se vuelve aún más evidente cuando multiplicamos conjugados complejos. El complejo conjugado de un número complejo a + bi es a – bi . Observe lo que sucede cuando multiplicamos conjugados complejos.
| ( a + bi ) ( a – bi ) | FRUSTRAR |
| a 2 – abi + abi – b 2 yo 2 | Combine términos semejantes y reemplace i 2 con -1. |
| a 2 – b 2 (-1) | Simplificar |
| a 2 + b 2 | Resultado |
¡Guauu! Cuando multiplicamos conjugados complejos, ¡tenemos muchas posibilidades de simplificar! ¡También terminamos con un número real! Por ejemplo, considere (1 + 2 i ) (1 – 2 i ).
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Terminamos con (1 + 2 i ) (1 – 2 i ) = 5. Eso es mucha simplificación, y estamos a punto de ver cómo usamos esto al dividir números complejos.
División de números complejos
Cuando se analiza un problema de división con números complejos, es fácil preguntarse por dónde empezar. Tenemos un número a + bi dividido por un número c + di , entonces, ¿qué podemos hacer? Todo se reduce a simplificar el problema. Queremos convertir el denominador en un número real. De esa manera, podemos dividir cada término en el numerador por ese número para terminar con un número complejo. Eso es probablemente bastante difícil de imaginar en tu cabeza, ¿eh?
Dividamos el proceso en pasos.
- Encuentra el conjugado complejo del denominador.
- Multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. Esto está bien, ya que es lo mismo que multiplicar por 1.
- Simplificar.
Veamos cómo funciona esto usando un ejemplo con números: 3 + 4 i / 1 – 2 i .
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Vemos que (3 + 4 i ) / (1 – 2 i ) = -1 + 2 i . Al llevar estos problemas a través de nuestros pasos, usamos la simplificación con multiplicación para realizar la división.
Resumen de la lección
Los números complejos toman la forma a + bi , donde a y b son números reales e i es un número imaginario. Llamamos a la parte real del número y bi la parte imaginaria .
La multiplicación de números complejos implica el uso del método FOIL seguido de la simplificación. La simplificación es especialmente evidente cuando se multiplican conjugados complejos , donde el conjugado complejo de a + bi es a – bi y ( a + bi ) ( a – bi ) = a 2 + b 2 .
La división de números complejos aprovecha el hecho de que ( a + bi ) ( a – bi ) = a 2 + b 2 . Para dividir números complejos, seguimos estos pasos:
- Encuentra el conjugado complejo del denominador.
- Multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.
- Simplificar.
Tanto la multiplicación como la división de números complejos giran en torno a la simplificación. Debido a que los números complejos se utilizan a menudo en áreas como matemáticas, física e ingeniería, estos procesos de simplificación son extremadamente útiles.
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