Rodrigo Ricardo

Simplificar números complejos con varios pasos

Publicado el 22 noviembre, 2020

¿Qué es un número complejo?

Un número complejo es “complejo” porque se compone de más de una parte. Un número complejo se escribe en la forma a + bi , donde a es la parte real y bi es la parte imaginaria. Por ejemplo, 2 + 3 i es un número complejo, donde 2 es la parte real y 3 i es la parte imaginaria. Pero, ¿es 5 i un número complejo? La mayoría de la gente asumirá que no es porque solo tiene una parte. Sin embargo, ¿no es lo mismo 5 i que 0 + 5 i ? ¡Sí, entonces 5 i es un número complejo! Sabemos que en álgebra i representa un número imaginario, que proviene del hecho de que:

regla

Al cuadrar cada lado obtenemos:

regla 2

Es necesario recordar este hecho a medida que avanzamos.

Sumar números complejos

Para sumar números complejos, los trataremos como polinomios y usaremos las mismas reglas para sumar. Por ejemplo, trataríamos (3 + 2 i ) + (-4 + 6 i ) como (3 + 2 x ) + (-4 + 6 x ). Usemos esto como nuestro primer ejemplo.

Ejemplo 1

(3 + 2 yo ) + (-4 + 6 yo )

Como se nos pide que realicemos una suma y los coeficientes antes del segundo número complejo, (-4 + 6 i ), es un 1 positivo implícito, podemos eliminar todos esos paréntesis. Entonces, tenemos 3 + 2 i + -4 + 6 i o 3 + 2 i 4 + 6 i .

A continuación, combinaremos todos los términos semejantes sumando los coeficientes de los términos semejantes (como lo haríamos si fueran polinomios); es decir, combinar constantes de 3 – 4 y i términos 2 i + 6 i . Obtenemos nuestra respuesta de -1 + 8 i .

Por último, verificamos si nuestra respuesta está en forma adecuada a + bi . Sí lo es. ¡Terminamos!

Restar números complejos

Al restar números complejos, podemos usar la misma estrategia que con la suma. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 2

(-3 – i ) – (4-5 i )

La resta es casi exactamente como la suma, excepto por un primer paso adicional:

(-3 – i ) – (4-5 i ) realmente significa (-3 – i) -1 ( 4-5 i )

Dado que hay un -1 implícito antes del segundo conjunto de paréntesis, primero tenemos que distribuir el -1 antes de quitar el paréntesis. Después de distribuir -1 al segundo conjunto de paréntesis, obtendremos -3 – i – 4 + 5 i (observe que los signos solo cambiaron para cada término).

Ahora, podemos continuar y combinar términos semejantes como hizo en el Ejemplo 1. Combine las constantes -3 – 4 y los términos i -i + 5 i . Recuerde que -i es en realidad -1 i . Entonces, -3 – i – 4 + 5 i = -7 + 4 i .

Una vez más, comprobaremos si nuestra respuesta está en forma + bi . Mientras sea así, ¡hemos terminado!

Multiplicar números complejos

Multiplicar números complejos es un poco diferente a sumarlos y restarlos, pero podemos seguir el mismo procedimiento que seguiríamos si estuviéramos multiplicando polinomios. Usaremos “FOIL” (Primero, Exterior, Interior, Último) para asegurarnos de multiplicar cada término en el primer número complejo por cada término en el segundo número complejo.

Ejemplo 3

(2 + i ) (4 + 3 i )

Primero: (2) (4) = 8

Exterior: (2) (3 i ) = 6 i

Interior: ( i ) (4) = 4 i

Último: ( i ) (3 i ) = 3i 2

Luego, combine términos semejantes y obtenga 8 + 10 i + 3 i 2

Ahora bien, ¿qué dijimos sobre un hecho clave que debemos recordar? Aquí es donde entra -1 = i 2. Como sabemos que estos son valores equivalentes, reemplazaremos i 2 con -1.

8 + 10 i + 3 (-1)

Luego, simplemente esto a 8 + 10 i – 3. Luego, nuevamente, para obtener nuestra respuesta final de 5 +10 i .

División de números complejos

Para dividir números complejos, necesitamos saber algo sobre conjugados. El conjugado de un número complejo requiere que cambie el signo del término bi . Por ejemplo, el conjugado de 2 + 3 i es 2 – 3 i , y el conjugado de -2 – i es -2 + i . ¡Asegúrate de cambiar solo el signo del término bi !

El conjugado de un número complejo es importante porque un número complejo multiplicado por su conjugado siempre será igual a un número real. Esta es la clave para dividir porque no queremos tener un número complejo en el denominador de una fracción. En cambio, siempre multiplicaremos por el conjugado del denominador para transformarlo en un número real.

Ejemplo 4

ejemplo 4

Como queremos que el denominador de esta expresión sea un número real, lo multiplicaremos por el conjugado de 6 + i , que es 6 – i . Pero recuerda que todo lo que hagas con el denominador también debes hacerlo con el numerador. Se nos permite hacer esto porque cualquier cosa sobre sí misma es solo 1, ¿verdad? Entonces, en este paso, solo estamos multiplicando por una forma de 1 cuidadosamente elegida.

mult por conjugado

Al usar ” FOIL ” tanto en el numerador como en el denominador obtenemos:

paso 2

Observe que ahora tenemos algunos términos i 2 . Sustituimos i 2 con su valor equivalente de (-1):

paso 3

Simplifica los signos:

paso 4

Y, finalmente, combine todos los términos semejantes:

paso 5

Aunque parece que hemos terminado, todavía necesitamos que nuestra respuesta esté en forma adecuada a + bi . Para hacer eso, reescribiremos nuestra respuesta de modo que el término en el denominador se divida por cada término en el numerador. Entonces, escribiremos nuestra respuesta final como:

respuesta final

Resumen de la lección

Un número complejo está formado por una parte real a y una parte imaginaria bi , y se escribe como a + bi . Para sumar, restar y multiplicar números complejos, podemos usar el mismo proceso que usaríamos para sumar, restar o multiplicar expresiones polinómicas. Para dividir números complejos, primero debes recordar multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Además, es necesario recordar que -1 = i 2 y utilizar este hecho al realizar la multiplicación y división de números complejos.

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