Simplificar números complejos: conjugado del denominador

Simplificando números complejos

A veces, podemos tomar las cosas demasiado literalmente. Como la semana pasada en Java Hut cuando un cliente le pidió al gerente, Jobius, una «taza de café simple» y le dieron una taza llena de granos de café. Simple, pero no exactamente lo que teníamos en mente.

Esta lección trata de simplificar. Lo que tenemos en mente es mostrar cómo tomar un número complejo y simplificarlo. ¿Los granos de café son incluso masticables?

Un denominador complejo

Mirando nuestro primer ejemplo, vemos el número 1 dividido por un número complejo. El número complejo tiene la forma de a + bi , donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. El número complejo en el denominador tiene una parte real igual a igual a 3 y una parte imaginaria b igual a -4.

Para simplificar esta fracción, multiplicamos el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. Cuando invertimos el signo de la parte imaginaria, tenemos el conjugado complejo. Otra forma de pensar en esto es reemplazar todas las i por -i . Como podemos ver aquí, el complejo conjugado de 3 – 4 i es 3 + 4 i .

Al multiplicar el numerador por 3 + 4 i y el denominador por lo mismo, 3 + 4 i , no estamos cambiando el valor de la fracción. (3 + 4 i ) / (3 + 4 i ) es 1, y multiplicar por 1 no cambia la cantidad que se multiplica.

Los siguientes pasos son simplificar. Al multiplicar los numeradores, obtenemos 1 por 3 + 4 i , que es solo 3 + 4 i . Al multiplicar los denominadores, distribuimos la multiplicación dando (3 – 4 i ) (3 + 4 i ) igual a 9 + 12 i – 12 i – 16 i 2 .

Un par de cosas a tener en cuenta: el 12 i ‘y el -12 i cancelan; la parte i 2 es igual a -1 porque i es la raíz cuadrada de -1. Después de sustituir i 2 , el denominador se convierte en 9 – 16 (-1).

Por supuesto, -16 (-1) es +16:

Y 9 + 16 es 25:

El 25 en el denominador está dividiendo tanto la parte real como la imaginaria del numerador.

Podríamos detenernos aquí, porque nuestro resultado está en forma de a + bi . En este ejemplo, las fracciones se pueden escribir muy bien como decimales: 3/25 es 0.12 y 4/25 es 0.15. Dando un paso más:

Hemos utilizado el complejo conjugado del denominador de 1 / (3 – 4 i ) para simplificar esta fracción como 0,12 + 0,16 i . El paso clave es multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador. Luego simplificamos la expresión.

¿Listo para algo más? Me pregunto qué obtendríamos si le pedimos a Jobius un panecillo para llevar. ¿Quizás un panecillo con ruedas adjuntas?

Numerador y denominador complejo

¿Qué pasa si la fracción que queremos simplificar es más general? En este ejemplo, en lugar de un 1 en el numerador, tenemos un número complejo:

Solo un comentario: sí, estamos simplificando una fracción, pero también podemos pensar en esto como dividir un número complejo por un número complejo. Como en el ejemplo anterior, primero, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador. El complejo conjugado de 2 + 4 i es 2 – 4 i .

Este es el paso crucial. Recuerde: estamos multiplicando la fracción original por 1. Este 1 es (2 – 4 i ) / (2 – 4 i ). El 2 – 4 i es el complejo conjugado del denominador original.

El paso 2 es multiplicar los numeradores y denominadores.

¿Ves cómo las partes imaginarias se cancelan en el denominador pero no en el numerador?

Continuamos simplificando reemplazando i 2 con -1, sumando las partes reales y dividiendo tanto la parte real como la imaginaria del numerador por 20.

El 46/20 – (12/20) i sería un buen lugar para parar, pero fue más allá porque estas fracciones se convierten muy bien a decimales.

Usando el conjugado complejo del denominador, hemos simplificado (7 + 8 i ) / (2 + 4 i ) a 2.30 – 0.60 i .

Ahora, ¡si pudiéramos conseguir que Jobius mantuviera su crema para café en el refrigerador en lugar de tener una vaca en espera en la tienda!

Resumen de la lección

Muy bien, tomemos un momento para revisar lo que hemos aprendido en esta lección. Como aprendimos, los números complejos se escriben como a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. También aprendimos que si un número complejo tiene la forma a + bi , su conjugado complejo , que es cuando invertimos el signo de la parte imaginaria, tiene la forma a – bi . El signo de la parte imaginaria se invierte. Dada una fracción con un número complejo en el denominador, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el complejo conjugado del denominador. Esto no cambia el valor de la fracción pero nos permite simplificar la fracción y escribirla en elforma a + bi .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador