Teorema de la mariposa: historia y aplicaciones

Teorema de la mariposa

Sientame por un momento. Saque un lápiz y un papel y haga lo siguiente:

1. Dibuja un círculo y una cuerda del círculo que corra desde cualesquiera dos puntos P y Q del círculo.
2. Deje que el punto medio de PQ sea M . Dibuje dos acordes más del círculo, los llaman RS y la televisión , que ambos pasan a través M .
3. Por último, agregue los dos segmentos de línea RV y ST .

Bien, ahora piense en algunos tipos diferentes de bichos o insectos. ¿Ve algún parecido entre la forma que acaba de crear en su dibujo y un tipo en particular?

¡Así es! ¡Parece una mariposa!

Tenemos un buen teorema relacionado con el escenario que acabamos de dibujar y, como puede ver por qué, se llama teorema de la mariposa.

• Teorema de la mariposa : para cualquier acorde PQ de un círculo, sea M el punto medio de PQ . Si dibujamos otros dos acordes, RS y VT , a través de M , dibujamos los segmentos de línea RV y ST , y llamamos a los puntos de intersección de RV y ST con PQ Y y X , entonces M es el punto medio de XY .

Eso es un poco complicado, pero básicamente nos lleva a través de los pasos que seguimos en nuestro dibujo, y luego establece que si llamamos a los puntos de intersección de RV y ST con PQ Y y X , entonces M no es solo el punto medio de PQ , pero también es el punto medio de XY . Si piensa en esto en términos de una mariposa, podríamos pensar en M como un punto en el cuerpo de la mariposa, y vemos que M siempre estará directamente en el centro de los bordes opuestos de las alas de la mariposa.

¡Eso es bastante interesante! Echemos un vistazo a una breve historia de este pequeño teorema.

Breve historia

Hay muchas pruebas diferentes del teorema de la mariposa, pero su prueba original se le atribuye a William Wallace. Originalmente, se pensó que WG Horner era responsable de resolver este problema en 1815. Sin embargo, dos descubrimientos recientes han dejado en claro que la prueba de Wallace llegó antes que la prueba de Horner en unos 10 años.

El primero de esos descubrimientos es una publicación de 1803 de The Gentlemen’s Mathematical Companion que contiene una generalización del problema de Wallace. El segundo es una correspondencia de Sir William Herschel a Wallace en 1805. En la carta, Herschel presenta el problema de probar que los dos segmentos de recta XM e YM en el teorema tienen la misma longitud. A su vez, le pide a Wallace una prueba del teorema de la mariposa.

1805 Correspondencia

Como dijimos, ahora es obvio que fue Wallace quien presentó por primera vez una demostración de este teorema, y ​​es algo bueno que lo hizo, porque hoy podemos usar el teorema de la mariposa en varias aplicaciones.

Solicitud

Suponga que dos personas están de excursión en una gran zona circular de senderismo y se han desviado del camino. Tienen un mapa de la zona de senderismo con los senderos y sus distancias dadas.

En el mapa, pueden ver que necesitan continuar caminando hacia el oeste para regresar al estacionamiento. Sin embargo, debido a que se han desviado, no están seguros de cuánto más deben ir y se están cansando.

Observe que los senderos en el área de senderismo se parecen mucho al escenario del teorema de la mariposa, excepto que no hay un sendero, o segmento de línea, de Y a M , y ahí es donde ahora se encuentra la pareja. Hmmm … bueno, si tuviéramos que dibujar en ese segmento de recta encuentra, entonces por el teorema de mariposa tiene que ser el caso de que M es el punto medio de X e Y . Debido a esto, se deduce directamente que XM e YM tienen la misma longitud. ¡Ah-ja! ¡Ahí está la respuesta de la pareja a este enigma!

Saben que el sendero XM tiene una longitud de 2 millas, por lo que debe ser que el sendero YM tenga una longitud de 2 millas. Ya han viajado parte de esto, pero ahora saben que deben tener 2 millas o menos para regresar al estacionamiento si continúan dirigiéndose directamente hacia el oeste, y están seguros de que pueden hacerlo. ¡Uf! ¡Salvado por el teorema de la mariposa!

Este es solo un ejemplo simple, pero práctico, de cómo se puede usar el teorema de la mariposa en la vida real. También es bastante útil en muchas otras áreas, como el arte, la construcción, la astronomía, la física, la entomología (el estudio de los insectos), la lepidopterología (el estudio de las mariposas y las polillas), ¡y muchas más!

Resumen de la lección

El teorema de la mariposa es un teorema brillante en matemáticas que recibe su nombre del hecho de que la forma que se crea dentro del teorema se asemeja a una mariposa. El teorema establece que para cualquier acorde PQ de un círculo, sea M el punto medio de PQ . Si dibujamos otros dos acordes, RS y VT , a través de M , dibujamos los segmentos de línea RV y ST , y llamamos a los puntos de intersección de RV y ST con PQ Y y X , entonces M es el punto medio de XY .

Aunque el teorema de la mariposa tiene muchas pruebas, a William Wallace se le atribuye su prueba original debido a una publicación de 1803 en The Gentlemen’s Mathematical Companion y una correspondencia de 1805 de Sir William Herschel a Wallace, en la que le pedía a Wallace una prueba del teorema de la mariposa. .

Este teorema resulta no solo fascinante, sino también muy útil en aplicaciones en áreas como el arte, la construcción, la astronomía, la entomología y la lepidopterología. Como podemos ver, ¡es un teorema extremadamente valioso!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador