Trabajar como Integral
El trabajo es una cantidad importante en física. Se define como la energía transferida de un tipo a otro cada vez que se aplica una fuerza que hace que un objeto se mueva una distancia. En forma de ecuación, el trabajo es una fuerza multiplicada por el desplazamiento movido en la dirección de esa fuerza. O en otras palabras, W = Fx cos (theta).
La parte cos (theta) es un factor que solo asegura que la fuerza que estás mirando esté en la dirección correcta. Es el ángulo entre los vectores de fuerza y desplazamiento. Entonces, si empuja un bloque hacia adelante, aplicando su fuerza en la misma dirección que el desplazamiento, theta es cero y cos (0) = 1. Entonces, el trabajo es solo Fx . O, si estás empujando hacia abajo en un ángulo colocando el ángulo entre la dirección, estás empujando y la dirección en la que te mueves, y obtendrás el componente de tu fuerza en la dirección en la que se mueve multiplicado por el desplazamiento. .
Hasta ahora, nada de esto debería ser especialmente nuevo. El trabajo se introdujo en otra lección con bastante detalle. Pero ahora es el momento de agregar un poco de cálculo.
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En un sentido básico, el trabajo es solo fuerza multiplicada por desplazamiento. O, si tiene un gráfico de fuerza-desplazamiento, como el que se muestra, sería el área debajo del gráfico. Si la fuerza es de 20 newtons y el eventual desplazamiento es de 10 metros, entonces el trabajo es 20 multiplicado por 10, que es 200 julios. El área de un rectángulo es el producto de cada lado, por lo que es igual que el área debajo del gráfico. Pero, ¿qué pasa si tu fuerza no es un agradable y constante 20 newtons? ¿Y si varía gradualmente? ¿O qué pasa si es una curva?
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Si la fuerza cambia constantemente, encontrar el área debajo del gráfico se vuelve más complejo. Y ahí es cuando necesitas una ecuación más fundamental para trabajar. El trabajo no es solo fuerza multiplicada por desplazamiento. Es la integral de la fuerza SOBRE el desplazamiento. O, en otras palabras, si tiene una fuerza en función del desplazamiento y la integra con respecto a ese desplazamiento, obtendrá una expresión para el trabajo. Usando la forma integral que se muestra, no importa cuán compleja sea la forma de la gráfica fuerza-distancia, será posible resolver el problema.
Resolver la integral de cos (2x)
Ejemplo
Comencemos con un gráfico diagonal simple:
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En este gráfico, la fuerza es igual a kx , una constante multiplicada por el desplazamiento. Esa constante es solo la pendiente de la gráfica. Básicamente es solo una gráfica y = mx .
Para encontrar el trabajo, tenemos que integrar esta expresión con respecto a la fuerza. Por tanto, el trabajo es igual a la integral de kx dx , integrada desde el desplazamiento inicial, 0, hasta el desplazamiento final, x f . La integral de kx es ½ ( kx ) ^ 2. Y usando los valores de los límites, resulta como W = ½ ( kx f ) ^ 2. Así que esa es nuestra ecuación para el trabajo realizado en este proceso. Todo lo que necesitamos es la pendiente del gráfico y el desplazamiento final, y podemos calcular el trabajo.
Problemas de práctica
Es hora de algunos problemas de práctica. Problema 1:
La fuerza aplicada a un objeto viene dada por la ecuación F = 3x + 2. Si el desplazamiento total es de 5 metros, ¿cuánto trabajo se realiza en este proceso?
Resolver la integral de cos (x)
Para resolver este problema, primero necesitamos encontrar una ecuación para el trabajo realizado. El trabajo realizado es la integral de la función fuerza con respecto al desplazamiento. Entonces el trabajo es igual a 3 x + 2 dx . Integrando esto, obtenemos 3/2 x ^ 2 + 2 x . Y poniendo los límites, estos valores de x se convierten en x f – el desplazamiento final o total. Sustituya nuestro valor de 5 metros para el desplazamiento total y encontramos que se realizaron 47,5 julios de trabajo.
Problema 2:
La fuerza aplicada a un objeto viene dada por la ecuación F = x ^ 2 + 2. Si el desplazamiento total es de 10 metros, ¿cuánto trabajo se realiza en este proceso?
Nuevamente, necesitamos poner nuestra expresión en la obra integral e integrarla. El trabajo es igual a la integral de x ^ 2 + 2, con respecto a x . La integral de x ^ 2 + 2 es igual a 1/3 x ^ 3 + 2 x . Y esos valores de x vuelven a convertirse en el desplazamiento total. Sustituya nuestro valor de 10 metros y encontramos que el trabajo realizado es 353,3 julios. Y esa es nuestra respuesta.
Resumen de la lección
El trabajo es una cantidad importante en física. Se define como la energía transferida de un tipo a otro cada vez que se aplica una fuerza que hace que un objeto se mueva una distancia. En forma de ecuación, el trabajo es una fuerza multiplicada por el desplazamiento movido en la dirección de esa fuerza. O en otras palabras, W = Fx cos (theta). La parte cos (theta) es un factor que solo asegura que la fuerza que estás mirando esté en la dirección correcta.
Resolver la integral de ln (x)
Este valor de Fx es solo el área debajo de un gráfico de fuerza-desplazamiento perfectamente plano. Pero, ¿y si tu gráfica no es plana? ¿Y si es diagonal? ¿O curvado?
En esa situación, necesitas cálculo. El trabajo no es solo una fuerza multiplicada por el desplazamiento; es la integral de la fuerza SOBRE el desplazamiento. O en otras palabras, si tienes una fuerza en función del desplazamiento y la integras con respecto a ese desplazamiento, obtendrás una expresión para el trabajo. Usando esta forma integral, puede resolver cualquier problema que se le presente.
Los resultados del aprendizaje
Después de esta lección, tendrá la capacidad de:
- Definir el trabajo en términos de física.
- Identificar la ecuación del trabajo
- Explica cómo usar la forma integral para resolver problemas de trabajo en cálculo.
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