Resolver la integral de cos (x)

Pasos para resolver

Queremos ver cómo encontrar la integral de cos ( x ). Para encontrar esta integral, utilizamos la primera parte del teorema fundamental del cálculo . Quizás esté pensando que este teorema suena un poco abrumador. Después de todo, ¡es el teorema «fundamental» del cálculo! Bueno, no dejes que eso te intimide. La buena noticia es que, aunque este es un teorema esencial en cálculo, en realidad es bastante sencillo.

Primero, echemos un vistazo a este teorema en términos técnicos.

Mmmm, mirándolo así, ¡es fácil ver por qué tanta gente pensaría que esto parece intimidante! Pongamos esto en términos más simples. Básicamente, si a es la derivada de b , entonces la integral de a es b + C , donde C es una constante.

Muy bien, ahora que entendemos este teorema, usémoslo para encontrar la integral de cos ( x ). Según el teorema, la integral de cos ( x ) será igual a la función que tiene cos ( x ) como su derivada más una constante. ¡Excelente! Todo lo que necesitamos saber es qué función tiene cos ( x ) como su derivada y, afortunadamente, es bien sabido que la derivada de sin ( x ) es cos ( x ). ¡Tenemos toda la información que necesitamos!

Por el teorema fundamental del cálculo y el hecho de que la derivada de sin ( x ) es cos ( x ), tenemos que la integral de cos ( x ) es sin ( x ) + C , donde C es una constante.

El teorema fundamental del cálculo

Como acabamos de ver, es extremadamente útil conocer las relaciones entre las funciones trigonométricas y sus derivadas. No solo es importante porque facilita el trabajo con derivadas de este tipo de funciones, sino que también nos permite encontrar integrales que involucran este tipo de funciones con mucha más facilidad, gracias al teorema fundamental del cálculo.

Por ejemplo, suponga que queremos calcular la integral de sec 2 ( x ). Parece que sería muy complicado de hacer. Sin embargo, da la casualidad de que la derivada de tan ( x ) es sec 2 ( x ), por lo que según el teorema fundamental del cálculo, tenemos que la integral de sec 2 ( x ) es tan ( x ) + C , donde C es una constante. Vemos que conocer las derivadas de las funciones trigonométricas hace que un problema de integración aparentemente difícil sea bastante simple.

Basándonos en estas cosas que hemos aprendido, echemos un vistazo a las derivadas de las funciones trigonométricas.

¡Eso es mucho! Como acabamos de ver al encontrar la integral de cos ( x ), ya que la derivada de sen ( x ) es cos ( x ), la integral de cos ( x ) es el pecado ( x ) + C . El teorema fundamental del cálculo nos dice que al conocer las derivadas de estas seis funciones trigonométricas, también conocemos seis integrales.

De nuevo, ¡bastantes! Bastante ordenado y práctico, ¿eh? Es una excelente idea recordar estas derivadas y el teorema fundamental del cálculo. Después de todo lo que hemos visto, es fácil ver cuán útiles son estos hechos.

Esto puede hacer que se pregunte si esto significa que siempre que conocemos una derivada, ese hecho también nos da una integral. ¡Porque?, si! Eso es exactamente lo que establece el teorema fundamental del cálculo. ¿Ve ahora por qué es «fundamental» para el estudio del cálculo? Es grande y, debido a ello, ahora podemos ver cuán intrincadamente conectadas están realmente las derivadas e integrales.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de momentos a repasar lo que hemos aprendido sobre la resolución de la integral de cos (x). Para encontrar esta integral, utilizamos la primera parte del teorema fundamental del cálculo . En este teorema, debemos suponer que ‘f’ es continua en ‘a’ y ‘b’. A partir de ahí, seguimos dos pasos para explicar el teorema:

Teniendo en cuenta el teorema fundamental, así como todas las funciones trigonométricas, ahora debería poder resolver cualquier problema integral, incluida la integral de cos (x).

Rodrigo Ricardo Editor y fundador