Resolver la integral de ln (x)

Pasos para resolver

La integral de ln ( x ) puede parecer simple, pero en realidad es un poco complicada. Para encontrar esta integral, tenemos que usar la integración por partes . Este proceso se usa para encontrar la integral de un producto de funciones. La fórmula que usamos para la integración por partes es la siguiente:

Ahora puede mirar nuestro problema, resolver la integral de ln ( x ) y preguntarse cómo es esto un producto de funciones. Bueno, podemos pensar en la integral de ln ( x ) como la integral de ln ( x ) * 1. De esta forma, tenemos un producto de las funciones f ( x ) = ln ( x ) y g ( x ) = 1.

Bien, ahora que lo hemos aclarado, veamos los pasos involucrados cuando se usa la integración por partes.

1. Identifica tus dos funciones u y dv . Este suele ser el paso más difícil. Una cosa que puede ayudar con este paso es tener en cuenta que queremos que u sea ​​una función de la que sea fácil encontrar la derivada, y queremos que dv sea ​​una función para la que sea fácil encontrar la integral. Ponga el dx de la integral original con la función que nombró como dv .
2. Encuentre du , o la derivada de u , y encuentre v , o la integral de dv .
3. Inserte u , v , du y dv en la integración de acuerdo con la fórmula de las partes y simplifique.

Solicitud

Apliquemos estos pasos a la integral de ln ( x ). Sabemos que nuestras dos funciones son ln ( x ) y 1. Dado que la derivada de ln ( x ) es bien conocida como 1 / x , probablemente sería una buena idea dejar u = ln ( x ). De manera similar, la integral de 1 se conoce como x + C , donde C es una constante. Entonces, dejaremos dv = 1 dx. Es importante notar que no incluimos las constantes cuando encontramos diferentes integrales durante el proceso de resolución. Esto se debe a que las constantes que aparecerían durante todo el proceso se resolverán al final del proceso, cuando tengamos nuestra constante final.

En este punto, hemos completado los pasos 1 y 2, y tenemos nuestras u , du , v y dv .

Todo lo que tenemos que hacer ahora es insertar los resultados en nuestra fórmula y simplificar.

Solución

Vemos que la integral de ln ( x ) es x ln ( x ) – x + C .

Integración por partes

Así que hemos encontrado la integral de ln ( x ), pero el uso de la integración por partes puede ser nuevo para usted y puede haberle dejado algunas preguntas. Para remediar esto, echemos un vistazo más de cerca a la integración por partes.

Como dijimos, la integración por partes se usa para encontrar la integral de productos de funciones. De hecho, podemos derivar la fórmula para la integración por partes de la regla del producto para las derivadas. Veamos cómo se hace esto.

Comenzaremos con la fórmula del producto para derivados.

A continuación, integraremos ambos lados de la función. Quizás se pregunte por qué, pero este enfoque se volverá cada vez más claro a medida que avancemos.

Podemos simplificar el lado izquierdo de esta ecuación con bastante facilidad. Desde la búsqueda de la integral de algo es lo mismo que encontrar el anti-derivado, tenemos que la integral de la derivada de f ( x ) * g ( x ) es f ( x ) * g ( x ) + C . Nuevamente, podemos descartar la constante, porque las constantes que surgen a medida que avanzamos serán atendidas al final del proceso donde todas terminan como una constante. Así tenemos el siguiente:

Ahora, de acuerdo con la fórmula de integración por partes dada anteriormente, estamos encontrando la integral de u dv . Si dejamos u = f ( x ) y dv = g ‘( x ) dx , ¿observa alguna de las integrales en nuestra fórmula que se parezca a la integral de u dv ? Bueno, mirando la ecuación, la última integral tiene la función f multiplicada por la derivada de la función g . ¡Ajá! Esta integral sería la integral de u dv donde u es f ‘( x ) ydv es g ( x ) dx . Por lo tanto, despejemos esta integral usando la fórmula que tenemos.

Muy bien, tenemos nuestra fórmula. Espera un segundo. Esto no se parece a nuestra integración original mediante la fórmula de las piezas. ¡No se preocupe! Podemos hacer algunas sustituciones aquí, y todo quedará muy claro.

Al conectarlos a la fórmula, tenemos lo siguiente:

¡Ahí está esa fórmula! Ahora vemos de dónde proviene la fórmula de integración por partes y por qué podemos usarla. Si todos los detalles en la derivación de la fórmula no fueron completamente claros, está bien siempre que reconozca que se derivó de la regla del producto para derivados.

Saber de dónde proviene una fórmula puede mejorar nuestra comprensión de la fórmula en sí y ayudarnos a identificar conexiones entre diferentes conceptos e ideas matemáticos. Ahora, no solo sabe cómo encontrar la integral de ln ( x ), sino que también sabe por qué podemos usar el proceso de resolución de integración por partes para hacerlo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador