Resolver la integral de cos (2x)

Pasos para resolver

Estamos interesados ​​en encontrar la integral de cos (2 x ). Para ello, vamos a hacer uso de la integración por sustitución. La integración por sustitución es un método de integración que se puede utilizar en integrales que tienen la forma ∫ f ( g ( x )) dx , y se puede poner en la siguiente forma:

∫ f ( g ( x )) ⋅ g ‘( x ) dx

Cuando tenemos una integral en esta forma, podemos hacer una u -substitution donde u = g ( x ), por lo que du = g ‘( x ) dx . Al hacer esta sustitución, terminamos con lo siguiente:

∫ f ( g ( x )) ⋅ g ‘( x ) dx = ∫ f ( u ) du

Luego, podemos encontrar la integral de f ( u ) y volver a insertar g ( x ) para que u obtenga la integral. Hmmm … eso suena un poco confuso. Veamos si escribir este proceso en pasos lo hace un poco más claro.

Para encontrar ∫ f ( g ( x )) ⋅ g ‘( x ) dx , seguimos estos pasos.

1. Sea u = g ( x ). Entonces du = g ‘( x ) dx , y dx = (1 / g ‘ ( x )) du .
2. Reemplaza estos valores en la integral de manera apropiada para obtenerla en la forma ∫ f ( u ) du o ∫ a ⋅ f ( u ) du , donde a es una constante.
3. Evalúe la integral en términos de u .
4. Vuelva a conectar g ( x ) para u .

Muy bien, estos pasos no parecen tan malos, pero si realmente quieres aprender esto, es útil practicarlo en forma de problemas, ¡así que busquemos la integral de cos (2 x ) usando este proceso!

Hay algunos hechos más que necesitamos saber para poder encontrar esta integral, y son los siguientes:

• La derivada de 2 x es 2.
• La integral de cos ( x ) es sin ( x ) + C , donde C es una constante.
• Si a es una constante, entonces ∫ a ⋅ f ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx .

Bien, ¡manos a la obra!

Primero, notamos que si dejamos f ( x ) = cos ( x ) y g ( x ) = 2 x , entonces f ( g ( x )) = cos (2 x ), entonces estamos encontrando la integral de f ( g ( x )). Reconocer esto hace que nuestra sustitución sea mucho más fácil, lo que nos lleva a nuestro primer paso, y es hacer que u = g ( x ) y du = g ‘( x ) dx .

Muy bien, tenemos que u = 2 x y que dx = (1/2) du . El siguiente paso es conectar estos valores en nuestra integral. Es decir, sustituimos u por 2 x y sustituimos (1/2) du por dx .

Pasando al tercer paso, vemos que queremos encontrar ∫ (1/2) cos ( u ) du . Para hacer esto, usamos nuestros datos que mencionamos anteriormente y encontramos:

Tenemos que ∫ (1/2) cos ( u ) du = (1/2) sin ( u ) + C , donde C es una constante. ¡Casi estámos allí! ¡Solo un último paso! Necesitamos volver a conectar 2 x para que u obtenga (1/2) sin (2 x ) + C , donde C es una constante.

Solución

La integral de cos (2 x ) es (1/2) sin (2 x ) + C , donde C es una constante.

Comprobando su trabajo

Bueno, tenemos nuestra respuesta, pero hubo algunos pasos involucrados, por lo que probablemente queremos asegurarnos de no cometer ningún error en el camino. En otras palabras, sería bueno poder comprobar que nuestra respuesta es correcta. ¡Afortunadamente, podemos usar derivados para hacerlo!

Como sabrá, las integrales son anti-derivadas. Obtienen este nombre del hecho de que la integral de una función es en realidad igual a la función de la cual la integral es derivada. Permítanme poner esto en términos más simples.

Si la integral de F ( x ) es f ( x ) + C , donde C es una constante, entonces F ( x ) es la derivada de f ( x ),

Esta regla, junto con lo que hemos encontrado, nos dice que si nuestro trabajo es correcto y (1/2) sin (2 x ) + C es la integral de cos (2 x ), entonces debería darse el caso de que cos (2 x ) es la derivada de (1/2) sin (2 x ). ¡Bien, perrito caliente! ¡Eso hace que verificar nuestra respuesta sea muy fácil! Simplemente encontramos la derivada de (1/2) sin (2 x ) y verificamos que es, de hecho, cos (2 x ).

Para encontrar la derivada de (1/2) sin (2 x ), usaremos las siguientes reglas y hechos:

• La regla de la cadena para derivadas : La derivada de f ( g ( x )) es f ‘( g ( x )) ⋅ g ‘ ( x ).
• Si a es una constante, entonces la derivada de a ⋅ f ( x ) es a ⋅ f ‘( x ).
• La derivada de sin ( x ) es cos ( x ).

¡Está bien, estamos listos! ¡Busquemos esta derivada y veamos si hicimos nuestro trabajo correctamente!

¡Woo-hoo! La derivada de (1/2) sin (2 x ) es cos (2 x ). Esto nos dice que definitivamente hicimos nuestro trabajo correctamente cuando encontramos la integral de cos (2 x ), por lo que todos podemos estar tranquilos esta noche sabiendo que ∫ cos (2 x ) dx = (1/2) sin (2 x ) + C , donde C es una constante.

Conceptos clave

Integración por sustitución : un método de integración que se puede utilizar en integrales que tienen la forma ∫ f ( g ( x )) dx

Integral – anti-derivado; la integral de una función es en realidad igual a la función que la integral es la derivada de

La regla de la cadena para derivadas : la derivada de f ( g ( x )) es f ‘( g ( x )) ⋅ g ‘ ( x ).

Los resultados del aprendizaje

Completar esta lección debería ayudarlo a hacer lo siguiente:

• Seleccione la ecuación correcta para resolver integrales
• Probar soluciones integrales usando derivadas

Rodrigo Ricardo Editor y fundador