Exponentes
Un exponente , también conocido como potencia, se ve así: 5 ^ 2. El exponente nos dice cuántas veces se multiplica un número o variable por sí mismo. Entonces, 5 ^ 2 es 5 veces él mismo, o 5 * 5. 5 ^ 3 es 5 * 5 * 5.
Piense en conejitos. ¿A quién no le gusta pensar en conejitos? Son adorables. Bueno, ciertamente deben pensar que sí, porque tienen un poco de reputación. Empiezas con dos conejitos, luego tienes cuatro conejitos. Eso es 2 * 2 o 2 ^ 2. Entonces tienes 8 conejitos. Eso es 2 ^ 3, o 2 * 2 * 2. Entonces tienes 16 conejitos, que es 2 ^ 4, o 2 * 2 * 2 * 2. Entonces decides que los conejos ya no son tan lindos.
Exponentes fraccionales
Pero, ¿qué pasa si tienes algo como esto: 9 ^ (1/2)? ¿Cómo se relaciona eso con los conejitos?
Este es un exponente fraccionario o una potencia fraccionaria. ¿Cómo se multiplica algo por sí mismo una fracción de veces?
Piense en lo que es una fracción. 1/2 es la mitad de uno. Es menos de uno. Y un exponente fraccionario implica encontrar menos de uno de algo. ¿Cuánto menos de uno? Bueno, probablemente hayas visto 9 ^ (1/2) antes, aunque no se veía así. Parecía la raíz cuadrada de 9.
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¿Cuál es la raíz cuadrada de 9? 3. ¿Cómo sabemos eso? Porque 3 * 3 = 9. Y eso es lo que es 9 ^ (1/2). Es la raíz cuadrada de 9.
Cuando tenemos un exponente fraccionario, el denominador representa el nivel de la raíz. Podemos decir que x ^ (1 / n ) es la raíz n -ésima de x . Entonces, 9 ^ (1/3) es la raíz cúbica de 9. 9 ^ (1/4) es la cuarta raíz de 9.
¿Recuerdas cuando teníamos 16 conejitos? Si hacemos 16 ^ (1/4), encontramos la cuarta raíz de 16, que es 2. Eso es lo que sucede cuando regalamos toda esa descendencia de conejos a nuestros amigos desprevenidos. Al igual que nosotros, necesitarán aprender sobre exponentes de números enteros regulares antes de aprender lo asombrosos que pueden ser los exponentes fraccionarios.
Por cierto, es posible que vea una fracción donde el numerador no es 1. No se preocupe; Funciona tal como cabría esperar. Mira x ^ ( m / n ). ¿Qué es m / n ? Es lo mismo que m * 1 / n , por lo que m funciona como un exponente regular. Entonces, x ^ ( m / n ) = la raíz n -ésima de x ^ m .
Si tuviéramos 27 ^ (2/3), podemos pensar en él como la raíz cúbica de 27 ^ 2. 27 ^ 2 es 729. La raíz cúbica de 729 es 9. También podríamos pensar en ella como el cuadrado de la raíz cúbica de 27. La raíz cúbica de 27 es 3. 3 ^ 2? Sí, todavía 9.
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Multiplicar exponentes fraccionarios
Si, por alguna razón, decidimos que queremos construir una granja de conejos, tendremos que pensar en grande. Eso significa multiplicación y exponentes. ¿Qué sucede cuando multiplicamos dos números con exponentes, como 3 ^ 2 * 3 ^ 4? ¿Obtenemos 3 ^ 8? No. Una de las leyes de los exponentes nos dice que sumamos los exponentes. Entonces, 3 ^ 2 * 3 ^ 4 = 3 ^ (2 + 4), que es 3 ^ 6. Eso sigue siendo un montón de ternura de orejas caídas.
Pero no solo criamos conejos para maravillarnos de sus poderes multiplicadores. También los vendemos como mascotas. Solo ten cuidado con el inquieto con el cronómetro. Pero reducir nuestra población de conejos significa exponentes fraccionarios.
Cuando multiplicamos exponentes fraccionarios , aún sumamos los exponentes. Entonces, 3 ^ (1/2) * 3 ^ (1/2) = 3 ^ (1/2 + 1/2). ¿Cuánto es 1/2 + 1/2? 1. Entonces, 3 ^ (1/2) * 3 ^ (1/2) = 3 ^ 1, que es solo 3. Piense en eso por un segundo. Estamos diciendo que la raíz cuadrada de 3 por la raíz cuadrada de 3 es 3, lo cual tiene sentido, ¿verdad?
Ejemplos
Veamos algunos ejemplos más. ¿Qué hay de 144 ^ (1/4) * 144 ^ (1/4)? Queremos sumar esos 1/4 para obtener 2/4, que es 1/2. Entonces, tenemos 144 ^ (1/2). Esa es la raíz cuadrada de 144, que es 12. ¿Alguna vez has contado 144 conejitos? Eso haría mucho estofado de conejo … Oh, lo siento.
¿Qué hay de 64 ^ (1/9) * 64 ^ (2/9)? Bueno, 1/9 + 2/9 es 3/9 o 1/3. Entonces, queremos la raíz cúbica de 64, y eso es 4.
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Probemos uno más: 64 ^ (1/3) * 64 ^ (1/3). Bueno, 1/3 + 1/3 = 2/3. Entonces, tenemos 64 ^ (2/3). Recuerda, podemos pensar en esto como la raíz cúbica de 64 ^ 2 o el cuadrado de la raíz cúbica de 64. Bueno, la raíz cúbica de 64 es 4. ¿Y 4 ^ 2? Eso es 16. Entonces, 64 ^ (2/3) = 16.
Resumen de la lección
Para resumir, comenzamos con un repaso sobre exponentes. Un exponente nos dice cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Piense en conejitos que se multiplican exponencialmente.
Luego aprendimos sobre exponentes fraccionarios. x ^ (1 / n ) nos dice que encontremos la raíz n -ésima de x . Entonces, 81 ^ (1/3) sería la raíz cúbica de 81.
El numerador representa nuestro exponente de número entero, por lo que x ^ ( m / n ) es lo mismo que la raíz n -ésima de x ^ m .
Cuando multiplicamos exponentes, la ley de los exponentes nos indica que sumemos los exponentes. 5 ^ 3 * 5 ^ 3 es 5 ^ 6.
Con exponentes fraccionarios, se aplica la misma ley. 16 ^ (1/4) * 16 ^ (1/4) es 16 ^ (1/4 + 1/4), que es 16 elevado a 2/4, o 1/2.
También es posible que hayamos aprendido que los conejitos no solo son lindos, son una industria de orejas caídas.
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya revisado esta lección en video, podrá:
- Explica qué hacer con los números cuando hay un exponente fraccionario.
- Multiplica números con exponentes fraccionarios
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