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Triángulo lado-ángulo-lado (SAS): definición, teorema y fórmula

Publicado el 23 noviembre, 2020

El teorema de SAS

Los triángulos pueden parecer simplemente otra forma geométrica, con tres lados y tres ángulos. Sin embargo, son lo suficientemente especiales como para tener un tema completo dedicado a ellos: la trigonometría. Lo que hace que los triángulos sean tan interesantes es que ciertos lados y ciertos ángulos relativos a esos lados tienen una relación especial. Una de estas relaciones se encuentra en el teorema SAS y la fórmula SAS (que usa los principios del teorema para calcular el área de un triángulo).

El teorema SAS establece que dos triángulos son iguales si dos lados y el ángulo entre esos dos lados son iguales. El ángulo entre los dos lados también se denomina ángulo incluido . En este diagrama, si el ángulo C = ángulo X , y el lado a = lado z y el lado b = lado y , entonces, según el teorema SAS, estos dos triángulos serían iguales. SAS significa lado de ángulo lateral.

Triángulos ABC y ZYX

En el diagrama, observe que los ángulos se representan con letras mayúsculas y los lados del triángulo se representan con letras minúsculas. Si SAS es verdadero para dos triángulos, esto significa que todo lo demás sobre estos triángulos es igual: todos los demás ángulos, todos los demás lados y el área de los triángulos.

Este teorema de la geometría condujo a una fórmula en trigonometría, llamada fórmula del área SAS. Usando la fórmula del área SAS , puede encontrar el área de un triángulo si conoce la longitud de dos lados de un triángulo y el ángulo incluido. En concreto, si los lados del ángulo incluido se simbolizan como b y c , y el ángulo incluido se llama A , entonces:

área del triángulo ABC = ( b * c * sin A ) / 2

Es importante que el ángulo que usa para el cálculo del área se encuentre entre los dos lados que usa para el cálculo. De hecho, usando esta idea para cualquier triángulo, hay tres formas de calcular el área.

Triángulo ABC

¿Por qué? Mirando triángulo ABC , vemos que hay tres ángulos y cada uno está incluido entre dos lados diferentes: ángulo C es el ángulo incluido de los lados una y b ; ángulo B es el ángulo incluido para los lados a y c ; ángulo A es el ángulo incluido de los lados b y c . Cualquier conjunto de este trío de partes podría usarse para calcular el área, si conoce el valor de esas tres partes.

Una revisión de la trigonometría

Antes de seguir adelante con los triángulos SAS, repasemos un poco de trigonometría. Una fórmula común de la geometría es la fórmula del área de un triángulo. Esta fórmula dice que área = b * h / 2, donde b es un lado del triángulo llamado base, y h es la altura del triángulo, donde la altura siempre está a 90 grados de la base. Usando SAS y esta fórmula de área, veremos por qué funciona la fórmula de área SAS.

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa . Si toma la longitud del lado del triángulo opuesto a un ángulo particular dividido por la longitud de la hipotenusa, esta razón se llama el seno de ese ángulo (abreviado sin).

Triángulo rectángulo

Usando SAS para calcular el área

Tenga en cuenta que h en nuestro triángulo es la altura del triángulo rectángulo y también es el lado opuesto al ángulo A . Por lo tanto, usando la hipotenusa, podemos hacer la razón del seno:

sin A = altura / hipotenusa o sin A = h / c

Pero, esta h es la misma h en la fórmula area = b * h / 2. ¿Cómo se vería la fórmula geométrica para el área de un triángulo si usáramos esta h en su lugar? Los siguientes pasos muestran cómo obtener esta respuesta.

  1. Usando álgebra, h = c * sin A
  2. Sustituye esta expresión en area = b * h / 2: area = b * c * (sin A ) / 2

¿Cómo encaja SAS en esta imagen? Tenga en cuenta que de acuerdo a nuestra diagrama y de la nueva fórmula de área, el ángulo A es el ángulo incluido de los lados b y c .

Quizás se pregunte, ¿por qué necesitamos otra fórmula de área? En realidad, hay más fórmulas para el área de un triángulo que las dos que se dan aquí. Sin embargo, una ventaja de la fórmula del área SAS es que no es necesario conocer la altura del triángulo. Solo necesitas saber la longitud de dos lados y la medida del ángulo incluido. Esto será útil si, por ejemplo, el triángulo que está midiendo no es un triángulo rectángulo y no se proporciona la altura.

Resumen de la lección

El teorema SAS establece que dos triángulos son iguales si dos lados y el ángulo entre esos dos lados son iguales. Si bien la fórmula de geometría para el área de un triángulo se usa a menudo, el teorema SAS se usa con trigonometría para proporcionar un método alternativo para calcular el área de un triángulo.

Usando la fórmula del área SAS , puede encontrar el área de un triángulo si conoce la longitud de dos lados de un triángulo y el ángulo incluido. En concreto, si los lados del ángulo incluido se simbolizan como b y c , y el ángulo incluido se llama A , a continuación, el área del triángulo ABC es igual a ( b * c * sen A ) / 2.

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