Uso de la forma estándar para números complejos

Notación variable imaginaria

Si ha dedicado algún tiempo al álgebra, probablemente esté acostumbrado a ver y usar diferentes variables, siendo x , por supuesto, la más común. Probablemente haya utilizado la mayoría de nuestras veintiséis letras como variables. Incluso podría sentirse cómodo usando letras griegas como variables. Probablemente haya una letra que no haya utilizado como variable. Piénsalo. ¿Ha utilizado la letra «i» como variable? La letra » i » rara vez se usa como variable. Se ha apartado para representar algo más. La letra » i » es el nombre de la raíz cuadrada imaginaria de -1. Esta lección explicará el uso de «i» en la forma estándar de números complejos. También le dará instrucciones sobre cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos.

Números complejos

Los números complejos son números en los que se representan el componente real y la parte imaginaria del número. Los números en forma estándar serán a + b i, donde a es la parte real y b i es la parte imaginaria. Un ejemplo de un número complejo sería 3 + 5i. 3 es la parte real y 5i es la parte imaginaria. Los números reales sin parte imaginaria se pueden representar mediante números complejos, como 12 + 0i. Los números imaginarios sin componente real también se pueden representar como un número complejo, como 0 + 7i.

Suma y resta

Para sumar o restar números complejos, sume o reste las partes reales con partes reales y las partes imaginarias con partes imaginarias.

Por ejemplo, digamos que tenemos la siguiente ecuación:

(4 + 6i) + (7 – 9i) = (4 + 7) + (6i – 9i) = (11) + (-3i) = 11 – 3i

Observe que si hubiera tomado por error «i» como variable y hubiera realizado la suma de dos binomios, habría obtenido una respuesta que se ve igual.

Multiplicar

¿Recuerdas cómo multiplicar binomios? El práctico truco llamado FOIL significa primero, exterior, interior y último. Aunque no es lo mismo, este truco funcionará para multiplicar números complejos. La única diferencia entre multiplicar números complejos y multiplicar binomios es que debes recordar el papel de i. i se define como la raíz cuadrada de uno negativo. i al cuadrado es igual a -1. Siempre que tenga i 2 , puede reemplazarlo con -1.

Por ejemplo (3 + 2i) (5 – 4i):

1. Primero: 3 * 5 = 15
2. Exterior: 3 * -4i = -12i
3. Interior: 2i * 5 = 10i
4. Último: 2i * -4i = -8i 2
5. Ponlos juntos: 15 – 12i + 10i – 8i 2
6. Combinar términos semejantes: 15 – 2i – 8i 2
7. Reemplaza i 2 con -1: 15 – 2i – 8 (-1)
8. Simplificar: 23 – 2i

Divisor

Siempre que esté dividiendo por un número complejo, significa que tiene una fracción con un número complejo en el denominador. Para poder dividir con un número complejo, necesitará convertir la fracción en una fracción equivalente, una que no tenga un número complejo en el denominador. Para convertir esta fracción, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado. El conjugado es el mismo número complejo excepto que se ha cambiado el signo de la parte imaginaria. El conjugado de a + b i es a – b i. Observe lo que sucede cuando multiplica un número complejo por su conjugado:

1. ( a + b yo) ( a – b yo)
2. Usando FOIL: a 2 + ab i – ab i-i 2 b 2
3. Reemplaza i al cuadrado con -1: a 2 + ab i – ab i – (-1) b 2
4. + ab i – ab i suma a cero: a 2 + b 2
5. a al cuadrado y b al cuadrado son números reales, y cuando se suman, te dan un número real. Ya no tenemos una parte imaginaria del denominador. Si también multiplica el numerador por el conjugado del denominador, tendrá una fracción equivalente con un número real en el denominador.

Resumen de la lección

La forma estándar de un número complejo es a + b i, donde a es la parte real y b i es la parte imaginaria. i representa la raíz cuadrada del número imaginario de -1. Para sumar o restar números complejos , que son números en los que se representan el componente real y la parte imaginaria del número, debe sumar o restar los términos semejantes. Los números reales son términos semejantes y las partes imaginarias son términos semejantes.

Al multiplicar números complejos, siga los mismos pasos que para multiplicar binomios. El único paso adicional es reemplazar i al cuadrado con -1. Finalmente, para dividir un número por un número complejo, debes convertir el denominador en un número racional multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador