Verificación de identidades trigonométricas
Los matemáticos usan identidades trigonométricas todo el tiempo y los estudiantes de trigonometría se ven obligados a memorizarlas. Pero, ¿cómo sabemos que son ciertas? El hecho de que su profesor de matemáticas diga algo no significa necesariamente que sea cierto. Si ella dice que todos los dinosaurios eran morados, ¿deberías creerle? (¡Probablemente no!) ¿Qué pasa si ella dice que sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1? ¿Deberías creerle? (¡Sí, deberías creer eso!)
Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran una o más funciones trigonométricas. Para verificar o probar una identidad, debemos usar nuestro conocimiento del círculo unitario y las definiciones de las funciones trigonométricas para demostrar que la ecuación es verdadera para todos los valores de la variable. La variable puede ser cualquier símbolo, más comúnmente θ , φ , x o t . En esta lección, nos quedaremos con t como variable.
El círculo unitario y las funciones trigonométricas
El círculo unitario es el círculo centrado en el origen con radio 1. La ecuación para el círculo unitario es x 2 + y 2 = 1. En nuestra lección, t representa un ángulo medido en sentido antihorario desde el eje x positivo . Para un valor dado de t , dejaremos que ( x , y ) sea el punto donde el rayo en el ángulo t interseca el círculo unitario, como se muestra en el diagrama a continuación.
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Con esta configuración, definimos las seis funciones trigonométricas de la siguiente manera:
- pecado ( t ) = y
- cos ( t ) = x
- tan ( t ) = y / x
- seg ( t ) = 1 / x
- csc ( t ) = 1 / y
- cuna ( t ) = x / y
Verificación de identidades trigonométricas
Para verificar cualquier identidad trigonométrica usando el círculo unitario, siga el mismo conjunto de pautas:
- Elige un lado para empezar. (Por lo general, el lado más complicado). Escríbalo.
- Convertir todas las funciones trigonométricas a las expresiones que implican x e y usando las definiciones anteriores. También puede ser útil convertir el otro lado de la misma manera para ver hacia dónde se dirige, pero por ahora solo escriba esto en un papel borrador.
- Usa álgebra y la ecuación x 2 + y 2 = 1 para cambiar lo que tienes actualmente por lo que necesitas para el otro lado.
- Usando las definiciones, cambie todas las x y las y de nuevo a funciones trigonométricas para que coincidan con el otro lado.
Esencialmente, comienzas con un lado de la identidad, trabajas un poco y terminas con el otro lado.
Ejemplo
¿Recuerdas cuando tu maestro te dijo que sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1? Así es como podemos verificar que no mintió:
sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1
Principio de Verificación: Orígenes, criterios y significado
Dado que el lado izquierdo es más complicado, comenzaremos con eso.
| Paso matemático: | Razón |
|---|---|
| sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = y 2 + x 2 | Sustituya y por sin ( t ) y x por cos ( t ) según la tabla anterior |
| y 2 + x 2 = x 2 + y 2 | Propiedad conmutativa de la suma: puede cambiar el orden |
| x 2 + y 2 = 1 | Ecuación del círculo unitario |
Ya que comenzamos con un lado y terminamos con el otro, ¡hemos terminado!
Ejemplo
Uno más fácil: probemos que cot ( t ) = cos ( t ) / sin ( t ).
Empecemos por el lado derecho esta vez ya que es un poco más complicado.
| Paso matemático: | Razón |
|---|---|
| cos ( t ) / sin ( t ) = x / y | Por definición de cos ( t ) y sin ( t ) |
| x / y = cuna ( t ) | Definición de cot ( t ) |
¡Hecho! Ese fue aún más fácil que el primero. Es hora de hacerlo más difícil …
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Ejemplo
Demuestre que sec ( t ) + tan ( t ) = cos ( t ) / (1 – sin ( t )).
Éste es un poco más complicado. Comencemos con el lado derecho, pero en un papel borrador, observe que el lado izquierdo es:
sec ( t ) + tan ( t ) = 1 / x + y / x
Ahora sabemos a qué aspiramos mientras trabajamos.
Empezando ahora por el lado derecho, tenemos:
| Paso matemático: | Razón |
|---|---|
| cos (t) / (1-sin (t)) = x / (1 – y) | Por definiciones de sin (t) y cos (t) |
| x / (1-y) = x (1 + y) / ((1-y) (1 + y) | Multiplica arriba y abajo por (1 + y) |
| x (1 + y) / ((1-y) (1 + y)) = x (1 + y) / (1-y 2 ) | Multiplica la parte inferior |
| x (1 + y) / (1-y 2 ) = x (1 + y) / x 2 | Dado que x 2 + y 2 = 1, despejar x 2 da que x 2 = 1 – y 2 |
| x (1 + y) / x 2 = (1 + y) / x | Cancelar una x |
| (1 + y) / x = 1 / x + y / x | Divide la fracción en dos fracciones separadas |
| 1 / x + y / x = sec (t) + tan (t) | Por definición de sec (t) y tan (t) |
¡Hecho! Ese fue mucho más difícil. Probablemente se haya preguntado por qué multiplicamos la parte superior e inferior por (1 + y ). Lo que hay que tener en cuenta es que el denominador de (1- y ) tiene dos términos, pero en realidad solo queremos un término (una x ) en el denominador. Similar a racionalizar el denominador de una fracción, multiplicar por este tipo de ‘conjugado’ y luego usar la ecuación del círculo unitario nos permite convertir dos términos en uno solo.
Este truco puede que no te resulte obvio las primeras veces (¡o incluso las primeras docenas de veces!), Pero se volverá más fácil cuanto más practiques.
Resumen de la lección
Para probar las identidades trigonométricas usando el círculo unitario, convierta un lado de la ecuación en x y y , use álgebra y la ecuación del círculo unitario para reescribirlo, luego convierta de nuevo a funciones trigonométricas para obtener el otro lado del círculo unitario. identidad. Por supuesto, es mucho más fácil decirlo que hacerlo. ¡La clave para dominar estas pruebas es la práctica!
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