Círculos: área y circunferencia

Fórmula para el área de un círculo

Como recordará, el área es la cantidad de espacio que ocupa una figura bidimensional y se mide en unidades al cuadrado. La mayoría de las formas requieren una fórmula para calcular el área y los círculos no son una excepción. Para calcular el área de un círculo, use la siguiente fórmula:

A = π * r ²

En esta fórmula, r representa el radio , que es un segmento que conecta el centro del círculo con un punto en el borde del círculo. Tiene la mitad del tamaño del diámetro y todos los radios dentro de un círculo serán iguales. Echemos un vistazo breve a cómo encontrar el área de los círculos.

Encontrar el área de un círculo Ejemplos

Eche un vistazo al círculo M:

Aquí vemos que el diámetro es de 30 centímetros de largo. Para calcular el área del círculo M, debemos cortar el diámetro a la mitad para determinar el radio. Cuando dividimos 12 entre 2, vemos que el radio tiene una longitud de 6 pulgadas.

A partir de aquí, sustituiremos 6 en la ecuación:

A = π * 6 ²

Recuerda seguir el orden de operaciones. Debemos elevar al cuadrado el radio antes de multiplicar por π. Cuando lo hacemos, podemos determinar que el área total del círculo M es 36π, o 113.097 pulgadas al cuadrado.

Ahora, echemos un vistazo a un ejemplo del mundo real.

Joe está comprando material para construir su primer trampolín. Si quiere que el diámetro del tapete sea de 14 pies de largo, ¿cuánto nailon tendrá que comprar?

Una vez más, cortaremos el diámetro por la mitad para determinar el radio. Cuando lo hagamos, veremos que el radio del tapete será de 7 pies. A continuación, sustituimos este radio en la ecuación:

A = π * 7 ²

Una vez que completemos nuestros cálculos usando el orden de operaciones, encontraremos que el área total del tapete es 49π, o 153,938 pies cuadrados.

Encontrar el área usando el diámetro

En ambos ejemplos, encontramos el radio de nuestro círculo desde un diámetro dado. Sin embargo, no necesariamente tenemos que hacer esto. También podemos encontrar el área del círculo usando solo el diámetro. Recuerde, el radio es la mitad del diámetro. Esto significa que podemos insertar d / 2 en nuestra fórmula de área en lugar del radio; cuadrar el 2 en el denominador de esta fórmula nos dará el área de la fórmula del círculo con el diámetro en su forma convencional:

A = ¼ * π * d ²

Volvamos a mirar nuestro segundo ejemplo, pero esta vez usando esta fórmula. Necesitamos encontrar el área del trampolín de Joe dado que tiene un diámetro de 14 pies. Esta vez, podemos insertar el diámetro directamente en nuestra fórmula.

A = ¼ * π * 14 ²

Si elevamos al cuadrado 14, obtenemos 196 y, dividiendo esto por 4, obtenemos 49. Esto nos da un área igual a 49π, o 153,938 pies. Esta es exactamente la misma respuesta que obtuvimos usando radio, ¡que es lo que deberíamos encontrar!

Circunferencia de un círculo

Así que eso se encarga de calcular la cantidad de espacio que ocupa un círculo, pero ¿cómo podemos determinar la distancia total alrededor de un círculo? Para otras formas, esto se conoce como perímetro, que es la suma de las longitudes de todos los lados de la figura, pero los círculos no tienen lados reales como otras formas. Por tanto, se utiliza el término circunferencia . Se define como la distancia alrededor de un círculo y se representa mediante la siguiente fórmula, donde r es el radio:

C = 2 * π * r

Examinemos algunos problemas de circunferencia, comenzando con el trampolín de Joe.

Además de comprar nailon para el tapete, Joe necesita crear un marco de acero. Con un diámetro de 14 pies, ¿cuánto acero debe comprar para construir un marco que encerrará toda la alfombra?

Como descubrimos anteriormente, con un diámetro de 14 pies, el radio del trampolín será de 7 pies. Conectemos esto a la fórmula de la circunferencia.

C = 2 * π * 7

Después de simplificar, vemos que la circunferencia del tapete es 14π o 43.98 pies, y esa es la cantidad de acero que Joe necesitará comprar para construir el marco.

Aquí hay uno más. Clara ha iniciado su propio negocio de decoración de sombreros. Para su diseño actual, quiere forrar el ala del sombrero con una cinta. Si el ala tiene un diámetro de 24 pulgadas, ¿cuánta cinta necesitará?

Dado que el diámetro del sombrero es de 24 pulgadas, debemos dividir este número por 2 para determinar el radio. Cuando lo hacemos, vemos que el radio es de 12 pulgadas y estamos listos para insertarlo en la fórmula.

C = 2 * π * 12

Resolver esta ecuación da una respuesta de 24π, o 75,398 pulgadas. Por lo tanto, necesitará 75,398 pulgadas de cinta para forrar su sombrero.

Encontrar área usando circunferencia

Dominic es un ingeniero que trabaja para una empresa de construcción encargada de construir un estadio. El diseño del estadio es circular, con una circunferencia de 3,200 pies. ¿Cuánta superficie ocupará este estadio?

Espera un segundo. Esta vez, no nos dieron el diámetro o el radio. ¿Cómo se supone que vamos a encontrar el área? Afortunadamente, con un poco de álgebra, podemos usar la circunferencia para encontrar el área de un círculo. Comenzamos tomando la fórmula de la circunferencia, C = 2 * π * r , y dividiendo ambos lados por 2π para obtener el radio por sí mismo. Luego podemos tomar el lado izquierdo de esta ecuación e insertarlo para el radio en nuestra fórmula de área.

A = π * r²

A = π * (C / (2 * π))²

Realizando nuestro orden de operaciones como lo hemos hecho para los problemas anteriores y simplificando, obtenemos la siguiente ecuación:

A = C² / (4 * π)

Luego podemos insertar 3200 como nuestro valor dado para la circunferencia en la fórmula.

A = 3,200² / (4 * π)

Trabajando a través de estos cálculos, encontramos que el estadio tendrá un área de 2,560,000 / π, o 814,873 pies cuadrados.

Resumen de la lección

El área ( A ) de un círculo se define como la cantidad de espacio cubierto por el círculo y se calcula usando dos fórmulas. El primero encuentra el área usando el radio ( r ) y el segundo lo encuentra usando el diámetro ( d ).

1. A = π * r²
2. A = ¼ * π * d²

La circunferencia ( C ) , por otro lado, es la distancia alrededor de un círculo y se calcula utilizando la siguiente fórmula:

C = 2 * π * r

Si se le pide que resuelva el área de un círculo mientras se le da solo su circunferencia, puede reorganizar la fórmula de la circunferencia usando álgebra para obtener r en un lado del signo igual. Luego, puede sustituir lo que está al otro lado del signo igual en la fórmula del área por r para resolver el problema.

Los conceptos de área y circunferencia no son solo ideas abstractas para usar solo en una clase de matemáticas. Desde saltar en un trampolín hasta diseñar sombreros o hornear pasteles, el área y la circunferencia de los círculos están presentes en todas partes en la vida cotidiana.