Hallar el área de un sector: fórmulas y problemas de práctica

Definiciones

¿Cuáles son las partes de un círculo?

• El punto medio del círculo es exactamente lo que parece: el punto justo en el centro del círculo.
• El radio de un círculo es una línea que se extiende desde su punto medio hasta su exterior.
• El diámetro de un círculo es una línea que atraviesa el círculo y pasa por su punto medio. Observe que el diámetro es en realidad dos radios juntos; así que el radio de un círculo es siempre la mitad de la longitud de su diámetro, y su diámetro es siempre el doble de la longitud de su radio.
• Por último, un sector es simplemente un trozo de círculo. El sector siempre se origina en el punto medio del círculo.

Calcular el área usando grados

Por lo general, la fórmula A = pi * r 2 se usa para calcular el área de un círculo. Sin embargo, al encontrar una parte del área, esa parte se puede determinar utilizando el ángulo del sector.

Un círculo completo abarca 360 grados, por lo que la relación entre la medición del ángulo del sector y 360 grados es proporcional a la fracción del área del círculo que se mide. Esta ecuación se puede escribir como: ángulo de sector / 360 . En otras palabras, si el ángulo del sector mide 90 grados, la parte del círculo que se mide es 90/360, o 1/4.

Otro ejemplo: si el ángulo del sector mide 60 grados, la fracción sería 60 sobre 360, o 1/6 del círculo.

Entonces, para encontrar el área de un sector , multiplique la fórmula para el área de un círculo por la porción del círculo que se está calculando. La fórmula para el área de un sector es:

A = (ángulo de sector / 360) * (pi * r 2 )

Calcular el área usando radianes

Si se trata de radianes en lugar de grados para medir el ángulo del sector, el método general para encontrar el área del sector sigue siendo el mismo. Los radianes son unidades que se utilizan para medir ángulos. Un círculo completo abarca 2 pi radianes, por lo que la fracción de 2 pi es la fracción del área del círculo que se está calculando.

En otras palabras, si el ángulo del sector mide pi / 2 radianes, la fracción del círculo que se mide es pi / 2 dividida por 2pi, o 1/4.

Si el ángulo del sector mide pi radianes, entonces mida pi / 2pi, o 1/2, del círculo.

Entonces, para encontrar el área, multiplique el área del círculo por la fracción del círculo que se está tratando. Simplemente use radianes en lugar de grados. La fórmula para el área de un sector en radianes es:

A = (ángulo del sector / (2 * pi)) * (pi * r 2 )

Área y partes conocidas de un círculo

A veces, se conoce la parte de un círculo. En este caso, no divida grados o radianes por ningún valor.

Por ejemplo, si el sector conocido es 1/8 de un círculo, simplemente multiplique la fórmula del área de un círculo por 1/8.

Esta fórmula funcionaría con cualquier parte de un círculo. Incluso si el sector conocido es 1/160 de un círculo, multiplique la fórmula para el área de un círculo por 1/160.

Entonces, cuando se le da la porción del círculo, la fórmula para el área del sector es:

A = (fracción del círculo) * (pi * r 2 )

Área de búsqueda: ejemplo

Para este ejemplo, imagine que se ha contratado a una persona para cortar parte de un campo circular de 80 pies de ancho. El propietario quiere despejar un sector de 45 grados. Pero, ¿cuánta área se cortará realmente?

La medida del ángulo del sector es de 45 grados. Su diámetro mide 80 pies. Dado que el radio es simplemente la mitad del diámetro, el radio de este círculo mide 40 pies. Esta es toda la información necesaria para calcular el área de este sector. En los ejemplos, aproxime pi como 3,14.

A = (45/360) * (3,14 * 40 2 )

A = (1/8) * (3,14 * 1,600)

A = (1/8) * (5,024) = 628 pies cuadrados

Habría 628 pies cuadrados de césped para cortar.

He aquí otro ejemplo. Sue tiene un jardín circular que mide 10 pies de ancho. Quiere plantar hierbas en 1/6 y la mezcla de semillas que está usando cuesta $ 1,50 por pie cuadrado de cobertura. ¿Cuánto gastará en mezcla de semillas?

Bueno, para encontrar el costo, averigüe qué área cubrirán las hierbas. El sector es conocido. Es 1/6 del jardín circular, así que multiplique la fórmula del área de un círculo por 1/6.

Dado que el diámetro del jardín es de 10 pies de largo, su radio es de 5 pies de largo. Ahora la fórmula se puede usar para resolver la porción conocida.

A = (fracción del círculo) * (3,14 * 5 2 )

A = (1/6) * (78,50) = 13,08 pies cuadrados

¡Pero espera! La mezcla de semillas cuesta $ 1.50 por pie cuadrado, así que multiplique ese precio por el área del sector:

$ 1,50 * 13,08 = $ 19,62

A Sue le costará $ 19,62 cubrir este sector de su jardín con semillas de hierbas.

Ahora encuentre el área de este sector usando radianes:

El ángulo del sector es pi radianes y el radio es de 6 pies.

A = (1/2) * (pi * 6 2 )

A = (1/2) * (3,14 * 36)

A = (1/2) * (113.04) = 56.52 pies cuadrados

El área de este sector es de 56,52 pies cuadrados.

Resumen de la lección

Un sector es simplemente una cuña o rebanada de un círculo que se origina en el punto medio del círculo.

Para encontrar el área de un sector , conozca el radio o el diámetro del círculo y la medida del ángulo del sector o la porción del círculo para la cual se debe calcular el área. Con esta información, multiplique la porción del círculo por el área del círculo completo.

Si el ángulo del sector se proporciona en grados , use la siguiente fórmula para calcular el área del sector:

A = (ángulo de sector / 360) * (pi * r 2 )

Si el ángulo del sector está en radianes , use la siguiente fórmula:

A = (ángulo del sector / 2 * pi) * (pi * r 2 )

3 fórmulas para calcular el área de un sector:

Resultados de la lección

Completar esta lección debería ayudarlo a lograr lo siguiente:

• Definir las diferentes partes de un círculo.
• Usa grados y radianes para calcular el área
• Demuestre cómo encontrar el área cuando se desconoce una porción

Rodrigo Ricardo Editor y fundador