Diferencia entre relación asimétrica y antisimétrica »Wiki Ùtil

Publicado el 22 septiembre, 2020

Relaciones

Suponga que la primaria Riverview está organizando un picnic de padre e hijo, donde los padres y los hijos firman un libro de visitas cuando llegan.

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¡Aquí hay algo interesante! ¡Esta lista de padres e hijos y cómo están relacionados en la lista de invitados es realmente matemática! En matemáticas, una relación es un conjunto de pares ordenados, ( x , y ), de modo que x es de un conjunto X e y es de un conjunto Y , donde x está relacionado con y por alguna propiedad o regla.

Si dejamos que F el conjunto de todos los padres en el picnic, y S el conjunto de todos los hijos, a continuación, la lista de libro de visitas, lo llaman G , es una relación del conjunto F de conjunto S . Es decir, G consta de todos los pares ordenados ( f , s ), de manera que f está relacionada con s por la regla de que f es el padre de s .

Consideremos otro ejemplo de una relación en el mundo real que no parecería matemática a primera vista. Considere la relación A que se define por la regla “es un pariente que vino antes que ese individuo (un antepasado), o es ese individuo”. En otras palabras, A es el conjunto de pares ordenados ( a , b ), de modo que a es un pariente de b que vino antes de b , o es b . Una vez más, uno no pensaría que una lista de pares como esta sería matemática, ¡pero lo es!

Relaciones asimétricas y antisimétricas

Cuando se trata de relaciones, existen diferentes tipos de relaciones basadas en propiedades específicas que una relación puede satisfacer. Dos de esos tipos de relaciones son las relaciones asimétricas y las relaciones antisimétricas. De las dos relaciones que hemos introducido hasta ahora, una es asimétrica y la otra es antisimétrica. Echemos un vistazo a cada uno de estos tipos de relaciones y veamos si podemos averiguar cuál es cuál.

Una relación asimétrica , llamémosla R , satisface la siguiente propiedad:

  • Si ( x , y ) está en R , entonces ( y , x ) no está en R .

Por lo tanto, si un elemento x está relacionado con un elemento y por alguna regla, entonces y no puede estar relacionado con x por esa misma regla. En otras palabras, en una relación asimétrica, no puede ir en ambos sentidos.

Una relación antisimétrica , llamada T , satisface la siguiente propiedad:

  • Si ( x , y ) y ( y , x ) están en T , entonces x = y .

Es decir, si un elemento x está relacionada con un elemento y , y el elemento y también está relacionado con el elemento de x , entonces x y y debe ser el mismo elemento. Por tanto, en una relación antisimétrica, la única forma en que puede ir en ambos sentidos es si x = y .

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Bien, nombres similares, pero podemos ver que una relación asimétrica es diferente de una relación antisimétrica en que una relación asimétrica no puede ir en ambos sentidos, y una relación antisimétrica puede ir en ambos sentidos, pero solo si los dos elementos son iguales.

Ejemplos

Pensemos de nuevo en nuestros dos ejemplos de relaciones del mundo real y tratemos de determinar cuál es asimétrico y cuál es antisimétrico. Primero, considere la relación G que consta de pares ordenados ( f , s ), tal que f es el padre de s . Hmmm … para esta relación sea asimétrica, que tendría que ser el caso de que si ( f , s ) está en G , entonces ( s , f ) pueden no estar en G . ¡Esto tiene sentido! Si f es el padre de s , entonces s ciertamente no puede ser el padre de f. ¡Eso sería biológicamente imposible! Por lo tanto, G es asimétrico, por lo que sabemos que no es antisimétrico, porque la relación no puede ir en ambos sentidos.

Ahora, consideremos la relación A que consiste de pares ordenados, ( un , b ), de tal manera que una es la relativa de b que vinieron antes b o una es b . Para que esta relación sea antisimétrica, tiene que darse el caso de que si ( a , b ) y ( b , a ) están en A , entonces a = b . Una vez más, ¡esto tiene sentido! Si una es un familiar de B que vino antes b o es b y bes un pariente de una que vinieron antes de una o es una , entonces tiene que ser el caso de que una y b son la misma persona, porque no puede ser el caso de que un vino antes de b y b se presentaron ante una . Por tanto, la única posibilidad es que a sea b . Dado que es posible que sea en ambos sentidos en esta relación (siempre que a = b ), la relación es antisimétrica, pero no puede ser asimétrica.

Si se pregunta acerca de algunos ejemplos que en realidad parecen más matemáticos. Considere las relaciones <y ≤, donde ( a , b ) está en <solo si a es estrictamente menor que b , y ( c , d ) está en ≤ solo si c es menor o igual que d . La relación <es asimétrica, porque no puede ser el caso que para dos números, a y b , a < b y b < a , entonces si ( a , b ) está en <, entonces ( b , a) no puede estar en <. Absolutamente no puede ir en ambos sentidos.

Por otro lado, la relación ≤ es antisimétrica, porque si por dos números c y d , tanto cd y dc , entonces tiene que ser el caso de que c = d . La única forma de hacerlo en ambos sentidos es si c = d .

Resumen de la lección

Una relación es un conjunto de pares ordenados, ( x , y ), de modo que x está relacionado con y por alguna propiedad o regla. Dos tipos de relaciones son relaciones asimétricas y relaciones antisimétricas, que se definen de la siguiente manera:

  • Asimétrica: Si ( un , b ) está en R , entonces ( b , un ) no puede estar en R .
  • Antisimétrico: si ( a , b ) y ( b , a ) están en R , entonces a = b .

La forma más fácil de recordar la diferencia entre relaciones asimétricas y antisimétricas es que una relación asimétrica no puede ir en ambos sentidos, y una relación antisimétrica puede ir en ambos sentidos, pero solo si los dos elementos son iguales.

Como hemos visto, las relaciones (tanto asimétricas como antisimétricas) pueden aparecer fácilmente en el mundo que nos rodea, incluso en lugares que no esperaríamos, por lo que es genial estar familiarizado con ellas y sus propiedades.

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