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Ángulos y triángulos: Problemas de práctica

Publicado el 22 septiembre, 2020

Resolver ángulos

En otra lección, aprendimos sobre los diferentes tipos de ángulos: interior consecutivo, interior alterno, exterior alterno y correspondientes. Descubrimos que cuando dos rectas son paralelas, todos los pares de ángulos son congruentes, excepto los ángulos interiores consecutivos, que son suplementarios. También aprendimos sobre los ángulos verticales, que siempre son congruentes. Practiquemos un poco con estos ángulos.

En la siguiente figura, sea Ángulo 5 = 30 y + 31, y sea Ángulo 9 = 22 y + 55. ¿Cuál es el valor de y ?


Figura de ejemplo para resolver problemas de ángulos
diagrama para resolver problemas de ángulos

El ángulo 5 y el ángulo 9 no coinciden con ninguno de los pares de ángulos, así que busquemos la conexión entre sus medidas. Observamos que el ángulo 5 corresponde al ángulo 1 y el ángulo 1 corresponde al ángulo 9 . Sabiendo que todos los ángulos correspondientes son congruentes, Ángulo 5 = Ángulo 1 y Ángulo 1 = Ángulo 9 . Entonces, por la propiedad transitiva de la igualdad, podemos concluir que Ángulo 5 = Ángulo 9 . Sustituyendo las ecuaciones, tenemos 30 y + 31 = 22 y + 55. De aquí, podemos restar 31 de ambos lados para obtener 30y = 22 y + 24, y luego reste 22 y de cada lado para obtener 8 y = 24. Para terminar, dividiremos ambos lados entre 8 para determinar que y = 3.

Hagamos otro usando la misma figura. Esta vez, sea Ángulo 4 = 14 x – 23, y Ángulo 14 = 4 x + 5. Halle la medida del Ángulo 15 .

Una vez más, estos ángulos no son un par de ángulos especial; entonces, encontremos la conexión. El ángulo 4 corresponde al ángulo 12 y el ángulo 12 es interior consecutivo al ángulo 14 . Por lo tanto, Ángulo 4 = Ángulo 12 y Ángulo 12 + Ángulo 14 = 180. Con este conocimiento, podemos reemplazar Ángulo 12 con Ángulo 4 para obtener Ángulo 4 + Ángulo 14 = 180. Con las ecuaciones, tenemos 14 x – 23 + 4 x + 5 = 180. La combinación de términos semejantes nos da 18 x– 18 = 180, y luego, sumando 18 a ambos lados, obtenemos 18 x = 198. Por último, dividiremos ambos lados entre 18 para concluir que x = 11.

Ahora podemos encontrar el valor del ángulo 15 , que es vertical ay congruente con el ángulo 14 . Sustituyendo 11 en la ecuación, vemos que el ángulo 14 = 4 (11) + 5, que es igual a 49. Por lo tanto, también podemos concluir que el ángulo 15 = 49 grados.

Resolver triángulos

Cuando trabaje con triángulos, recuerde que la suma de los tres ángulos en cada triángulo es 180 grados. Empecemos.

En este primer triángulo a continuación, despejemos x .


Ejemplo de triángulo 1
triángulo de ejemplo

Para cada ángulo, tenemos una medida o una ecuación. Por esa razón, sumemos todos los ángulos para que sean iguales a 180 grados. Al hacerlo, tenemos 40 + 10 x + 20 + 20 = 180, y al combinar términos semejantes, tenemos 10 x + 80 = 180. A continuación, restamos 80 de ambos lados para obtener 10 x = 100, y luego dividimos cada lado por 10 para terminar con x = 10.

Aquí está otro. Este es el triángulo JKL . ¿Cuál es la medida del ángulo L ?


Ejemplo de triángulo 2
ejemplo triángulo 2

Al tener información para los tres ángulos, los sumaremos para que sean iguales a 180. Recuerda que el cuadrado del ángulo nos dice que el ángulo mide 90 grados. Entonces, podemos comenzar con 10 y + 5 + 90 + 15 y + 35 = 180. La combinación de términos semejantes nos da 25 y + 130 = 180. Desde aquí, restaremos 130 de ambos lados, dejando 25 y = 50. Entonces , dividamos ambos lados por 25 para ver que y = 2. Ahora, por sustitución, vemos que el ángulo L = 15 (2) + 35, que equivale a 65 grados.

Hagamos uno más. En el triángulo DEF a continuación, el ángulo D es dos veces un número, el ángulo E es cuarenta más que cinco veces el número y el ángulo F es cinco más que dos veces el número. ¿Cuál es la medida del ángulo E ?


Ejemplo de triángulo 3
ejemplo triángulo 3

Como no tenemos la ecuación exacta para cada ángulo, tenemos que usar las descripciones para crearlos. Todas las descripciones hacen referencia a un número desconocido. Sin saber cuál es este número, lo llamaremos x en cada ecuación. Por tanto, el ángulo D = 2 x , el ángulo E = 5 x + 40 y el ángulo F = 2 x + 5.

Para resolver, comenzamos con 2 x + 5 x + 40 + 2 x + 5 = 180. La combinación de términos semejantes nos da 9 x + 45 = 180, y luego restar 45 de ambos lados nos deja con 9 x = 135. Desde aquí , dividiremos ambos lados por 9 para obtener x = 15. Para completar el problema, sustituiremos 15 en la ecuación por el ángulo E para ver que el ángulo E = 5 (15) + 40, que es igual a 115 grados.

Resumen de la lección

En resumen, al resolver con ángulos y líneas, siempre comience por determinar el par de ángulos especiales o la conexión entre los ángulos que le dieron. Esto lo enviará en la dirección correcta para determinar si debe establecer los ángulos iguales entre sí o sumarlos para que sean iguales a 180 grados. Pero recuerde, para resolver estos problemas de esta manera, las dos líneas deben ser paralelas.

Cuando se trata de triángulos, recuerde que todos los ángulos en cada triángulo deben sumarse para ser iguales a 180 grados. Entonces, cuando tenga información para cada ángulo en un triángulo, esta es la mejor manera de comenzar y resolver el problema.

Los resultados del aprendizaje

Después de completar esta lección, podrá:

  • Resuelve ángulos usando las reglas para interior consecutivo, interior alterno, exterior alterno y ángulos correspondientes.
  • Calcule un ángulo de un triángulo cuando se le dé información sobre los tres ángulos

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