Ecuación de una Parábola: Fórmula de foco y directriz

Foco y directriz de una parábola

Una parábola es una sección cónica que se genera por la intersección de la superficie de un plano con un cono. Una parábola es una curva plana que se forma cuando un punto se mueve de manera que la distancia entre él y un punto fijo es igual a la distancia entre él y una línea fija en el plano cartesiano. El punto fijo es el foco de la parábola y la recta fija es la directriz de la parábola.

Una parábola es el lugar geométrico de un punto variable que se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es igual a su distancia a una línea recta fija. El punto de intersección de la parábola y su eje se llama vértice de la parábola. El eje de simetría de la parábola es la recta que divide la parábola en dos mitades iguales, y pasa por el foco y es perpendicular a la directriz de la parábola.

¿Cuál es la ecuación de una parábola?

En forma estándar, la ecuación de una parábola es {eq}y=ax^2+bx+c {/eq}, donde {eq}a, b {/eq} y {eq}c {/eq} son reales números con {eq}a \neq 0 {/eq}.

Si {eq}a>0 {/eq}, entonces la curva parabólica se abre hacia arriba. Si {eq}a<0 {/eq}, entonces la curva parabólica se abre hacia abajo. Según el eje y la orientación, existen cuatro ecuaciones estándar de una parábola. Las ecuaciones generales de una parábola en su forma estándar son {eq}y^{2}=4ax {/eq}, {eq}y^{2}=-4ax {/eq}, {eq}x^{2} =4ay {/eq} y {eq}x^{2}=-4ay {/eq}.

Cómo encontrar la ecuación de la parábola con foco y directriz

¿Cómo se encuentra la ecuación de una parábola dado el foco y la directriz?

Los siguientes son los pasos para encontrar la ecuación de la parábola dado el foco y la directriz:

1. Con el foco y la directriz dados, es necesario determinar la distancia entre el foco y el punto de la parábola y la distancia entre la directriz y el punto de la parábola.

2. La distancia entre el foco y el punto de la parábola se obtiene mediante la fórmula de la distancia.

3. La distancia entre la directriz y el punto de la parábola es la diferencia entre sus coordenadas {eq}y- {/eq} o la diferencia de sus coordenadas {eq}x- {/eq}.

4. En una parábola, la distancia entre el foco y el punto de la parábola y la distancia entre la directriz y el punto de la parábola son equidistantes. Entonces, iguala las distancias correspondientes.

5. Simplificando los valores, se determina la ecuación de una parábola a partir del foco y la directriz.

Cómo encontrar la ecuación de la parábola en forma de intersección y forma de vértice

La forma de vértice de la parábola es {eq}y=a(xh)^2+k {/eq}, donde {eq}h {/eq} es un punto en el eje {eq}x- {/eq} y {eq}k {/eq} es un punto en el eje {eq}y- {/eq} y la forma de intersección de la parábola es {eq}y=a(xp)(yq) {/eq}, donde {eq }p {/eq} y {eq}q {/eq} son los valores de las intersecciones {eq}x- {/eq}.

Los siguientes son los pasos para encontrar la ecuación de una parábola dado el foco y la directriz:

1. Con el foco y la directriz dados, es necesario determinar la distancia entre el foco y el punto de la parábola y la distancia entre la directriz y el punto de la parábola.

2. La distancia entre el foco y el punto de la parábola se obtiene mediante la fórmula de la distancia.

3. La distancia entre la directriz y el punto de la parábola es la diferencia entre sus coordenadas {eq}y- {/eq} o la diferencia de sus coordenadas {eq}x- {/eq}.

4. En parábola, la distancia entre el foco y el punto de la parábola y la distancia entre la directriz y el punto de la parábola son equidistantes. Entonces, iguala las distancias correspondientes.

5. Simplificando los valores se determina la ecuación de una parábola.

6. Ahora, escribe la ecuación de la parábola en su forma estándar.

7. Encuentra las coordenadas {eq}x {/eq} y {eq}y {/eq} de la parábola usando los valores {eq}x=(-b)/2a {/eq} y {eq}y= a((-b)/2a)^{2}+b((-b)/2a)+c {/eq}, con esto se obtiene el vértice de la parábola.

8. Con el vértice y el valor de {eq}a {/eq}, de la ecuación de parábola obtenida, se puede escribir la ecuación parabólica en su forma de vértice.

Ejemplos de cómo encontrar ecuaciones de parábola con foco y directriz

1. Encuentra la ecuación de la parábola si el foco {eq}(2,0) {/eq} y la directriz {eq}y=-2 {/eq}.

La ecuación de la parábola se obtiene comparando las distancias entre el foco y el punto de la parábola y la directriz y el punto de la parábola, ya que las distancias son equidistantes.

Sea {eq}(x,y) {/eq} un punto de la parábola.

La distancia entre el foco y el punto de la parábola se calcula mediante la fórmula de la distancia.

La distancia entre {eq}(2,0) {/eq} y {eq}(x,y) {/eq} es {eq}\sqrt{(x-2)^{2}+(y-0) ^{2} } {/eq}

La distancia entre {eq}y=-2 {/eq} y {eq}(x,y) {/eq} es {eq}|y+2| {/eq}

Igualando las dos distancias anteriores,

{eq}\sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2 }=|y+2| {/eq}

Cuadrando en ambos lados,

{eq}(x-2)^{2}+(y-0)^{2}=(y+2)^{2} {/eq}

Simplificando,

{eq}x^{2}-4x+4+y^{2}=y^{2}+4y+4 {/eq}

{eq}x^{2}-4x=y^{2}+4y+4-4-y^{2} {/eq}

{eq}x^{2}-4x=4y {/eq}

{eq}y=\frac{(x^2-4x)}{4} {/eq}

{eq}y=\frac{x^2}{4}-x {/eq}

Por lo tanto, la ecuación requerida de la parábola es {eq}y=\frac{x^2}{4}-x {/eq}.

La gráfica de la parábola {eq}y=\frac{x^2}{4}-x {/eq} es la siguiente:

2. Encuentra la ecuación de la parábola con foco {eq}(0,3) {/eq} y directriz {eq}x=-5 {/eq}.

Cómo encontrar la directriz

Para cualquier parábola, ¿cómo se encuentra la directriz? Los siguientes son los pasos para encontrar la directriz de la ecuación de una parábola.

1. Determina el eje de simetría y el vértice de la parábola a partir de la ecuación de una parábola.

2. Comparar la ecuación de una parábola con su forma estándar e igualar el coeficiente de {eq}x {/eq}, y simplificándolo se obtiene el valor de {eq}a {/eq}.

3. Compara la ecuación de una parábola con su forma estándar; si {eq}(h,k) {/eq} es el vértice de la parábola, se determina la directriz y el foco de la parábola.

4. El foco de la parábola es el punto que se encuentra sobre el eje de simetría. Si el eje de simetría es el eje {eq}x- {/eq}, entonces el foco {eq}a {/eq} para el vértice {eq}(h,k) {/eq} es, {eq}(h \pm a,k) {/eq}. De manera similar, para el eje {eq}y- {/eq}, el foco es {eq}(h,k \pm a) {/eq}.

5. La directriz de la parábola es la línea horizontal perpendicular al eje de simetría. Si el eje de simetría es el eje {eq}x- {/eq}, entonces la directriz de la parábola con el foco {eq}a {/eq} y el vértice {eq}(h,k) {/eq} es, {eq}x=h \pm a {/eq}. De manera similar, para el eje {eq}y- {/eq}, la directriz es {eq}y=k \pm a {/eq}.

La fórmula del foco y la directriz es la siguiente: En forma de vértice, si {eq}(x – h)^{2} = 4p (y – k) {/eq}, entonces el foco es {eq}(h,k + p) {/eq} y la directriz es {eq}y = k – p {/eq}.

Además, si {eq}(y – h)^2 = 4p (x – h) {/eq}, entonces el foco es {eq}(h + p, k) {/eq} y la directriz es {eq} x = h – p {/eq}.

El valor de {eq}p {/eq} en las dos ecuaciones anteriores es {eq}p=\frac{1}{4a} {/eq}, y {eq}h {/eq} y {eq}k { /eq} son puntos en los ejes {eq}x {/eq} y {eq}y {/eq}, respectivamente.

Resumen de la lección

Una parábola es el lugar geométrico de un punto variable que se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es igual a su distancia a una línea recta fija. El punto fijo es el foco de la parábola, mientras que la recta fija es su directriz. El foco de la parábola es el punto que se encuentra sobre el eje de simetría. Si el eje de simetría es el eje {eq}x- {/eq}, entonces el foco {eq}a {/eq} para el vértice {eq}(h,k) {/eq} es, {eq}(h \pm a,k) {/eq}. De manera similar, para el eje {eq}y- {/eq}, el foco es {eq}(h,k \pm a) {/eq}.

La directriz de la parábola es la línea horizontal perpendicular al eje de simetría. Si el eje de simetría es el eje {eq}x- {/eq}, entonces la directriz de la parábola con el foco {eq}a {/eq} y el vértice {eq}(h,k) {/eq} es, {eq}x=h \pm a {/eq}. De manera similar, para el eje {eq}y- {/eq}, la directriz es {eq}y=k \pm a {/eq}.

La forma de vértice de la parábola es {eq}y=a(xh)^2+k {/eq}, donde {eq}h {/eq} es un punto en el eje {eq}x- {/eq} y {eq}k {/eq} es un punto en el eje {eq}y- {/eq} y la forma de intersección de la parábola es {eq}y=a(xp)(yq) {/eq}, donde {eq }p {/eq} y {eq}q {/eq} son los valores de las intersecciones {eq}x- {/eq}.

La distancia entre el foco y el punto de la parábola y la distancia entre la directriz y el punto de la parábola son equidistantes. La fórmula del foco y de la directriz es, en forma de vértice, si {eq}(x – h)^{2} = 4p (y – k) {/eq}, entonces el foco es {eq}(h,k + p) {/eq} y la directriz es {eq}y = k – p {/eq}.

Además, si {eq}(y – h)^2 = 4p (x – h) {/eq}, entonces el foco es {eq}(h + p, k) {/eq} y la directriz es {eq} x = h – p {/eq}.

El valor de {eq}p {/eq} en las dos ecuaciones anteriores es {eq}p=\frac{1}{4a} {/eq}, y {eq}h {/eq} y {eq}k { /eq} son puntos en los ejes {eq}x {/eq} y {eq}y {/eq}, respectivamente.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador