¿Qué es la equivalencia?
Supongamos que alguien dijera que las frambuesas son equivalentes a las fresas. Al principio, es posible que se sienta confundido. ¿Cómo son equivalentes? ¿Los arándanos también son equivalentes a las fresas? ¡No lo sabes! Pero, si alguien explicara que dos bayas son equivalentes si son del mismo color, entendería inmediatamente por qué las frambuesas son equivalentes a las fresas y que los arándanos no son equivalentes a las fresas. ¿Es esta una forma aceptable de definir la equivalencia? Veamos otro ejemplo. ¿Qué pasaría si alguien dijera que dos palabras, cada una de más de tres letras, son equivalentes si sus primeras tres letras son exactamente iguales? Por ejemplo, la robótica equivaldría a un robo y el congreso equivale a constante. ¿Es esta una forma aceptable de definir la equivalencia? Para nuestro ejemplo final, ¿qué pasaría si alguien dijera que dos números naturales son equivalentes si comparten un factor común mayor que uno? Por ejemplo, 6 es equivalente a 8 y 3 es equivalente a 18. ¿Es esta una forma aceptable de definir la equivalencia? Según la forma matemática de definir la equivalencia, dos de los tres ejemplos anteriores son aceptables y uno no. ¿Puedes adivinar cuál?
Relación de equivalencia
Primero, describamos una relación. Una relación es el método por el cual comparamos dos elementos en el mismo conjunto. En nuestro primer ejemplo, la relación tiene el mismo color. En nuestro segundo ejemplo, nuestra relación tiene las mismas tres primeras letras. Para que nuestra relación sea una forma aceptable de definir la equivalencia, la relación entre los elementos debe satisfacer los siguientes tres criterios: 1. Reflexivo : un elemento, a , es equivalente a sí mismo. 2. Simétrico : si a es equivalente ab , entonces b es equivalente a a 3. Transitiva : si a es equivalente ab , y b es equivalente ac , entonces a es equivalente ac Cualquier relación que satisfaga estas tres condiciones se denomina relación de equivalencia .
Verificación de una relación de equivalencia
Ahora que tenemos una forma formal de definir una relación de equivalencia, volvamos a nuestros tres intentos iniciales para definir la equivalencia y veamos cuál no es una relación de equivalencia. Ejemplo uno: ¿Son las frambuesas equivalentes a las fresas? Considere nuestra primera relación, ‘tener el mismo color’, con el conjunto que estamos considerando que es el conjunto de todas las bayas. Primero, comprobaremos si la relación es reflexiva . ¿Una baya tiene el mismo color que ella misma? Sí, eso parece correcto. ¡Bueno! Esta relación es reflexiva. A continuación, comprobaremos si la relación es simétrica . Si una baya tiene el mismo color que otra baya, ¿esta segunda baya tiene el mismo color que la primera baya? Nuevamente, eso parece bastante obvio. ¡Excelente! La relación es simétrica. Por último, comprobaremos si la relación es transitiva . Si una baya tiene el mismo color que una segunda baya y la segunda baya tiene el mismo color que una tercera baya, ¿la primera baya y la tercera baya tienen el mismo color? Nuevamente, esto parece ser cierto. ¡Bueno! Nuestra relación es transitiva. Dado que nuestra relación es reflexiva, simétrica y transitiva, ¡nuestra relación es una relación de equivalencia ! Ejemplo dos: palabras con las mismas tres letras Echemos un vistazo a la segunda relación, ‘tener las mismas primeras tres letras’, con el conjunto que estamos considerando que incluye todas las palabras con tres o más letras. Primero, comprobaremos si la relación es reflexiva . ¿Tiene una palabra las mismas tres primeras letras que ella misma? Sí, eso parece bastante obvio. ¡Fantástico! Esta relación es reflexiva. A continuación, comprobaremos si la relación es simétrica . Si una palabra tiene las mismas tres primeras letras que otra palabra, ¿esta segunda palabra tiene las mismas tres primeras letras que la primera palabra? Nuevamente, eso es cierto, por lo que la relación es simétrica. Por último, comprobaremos si la relación es transitiva . Si una palabra tiene las mismas tres primeras letras que una segunda palabra, y la segunda palabra tiene las mismas tres primeras letras que una tercera palabra, ¿la primera palabra y la tercera palabra tienen las mismas tres primeras letras? Nuevamente, esto parece ser cierto. ¡Maravilloso! Nuestra relación es transitiva. Dado que nuestra relación es reflexiva, simétrica y transitiva, ¡nuestra relación es una relación de equivalencia ! Ejemplo tres: números naturales Como dije que solo dos de los tres primeros ejemplos eran relaciones de equivalencia, ahora sabemos que el último ejemplo no es una relación de equivalencia. Pero, ¿por qué es eso? ¿Cuál de las tres condiciones no se cumplió? Podemos comprobar las condiciones reflexivas y simétricas y ver que ambas se mantienen. Sin embargo, el culpable es la condición transitiva. Para mostrar correctamente que esta relación no es transitiva, necesitamos crear un ejemplo que muestre esto. Consideremos los números 6, 16 y 9. Vemos que 16 y 6 comparten un factor común mayor que 1, a saber 2. Además, 6 y 9 comparten un factor común mayor que 1, es decir, 3. Sin embargo, 16 y 9 sí no comparten un factor común mayor que 1. Por lo tanto, esta relación no es transitiva. Por tanto, no es una relación de equivalencia.
Resumen de la lección
Para comprobar si una relación es una relación de equivalencia , debe ser reflexiva, simétrica y transitiva. Si alguno de estos tres no se cumple, la relación no es una relación de equivalencia. Recuerde que para ser reflexivo , un elemento, a , es equivalente a sí mismo; es simétrico si a es equivalente ab , entonces b es equivalente a a ; y es transitivo si a es equivalente ab , y b es equivalente ac , entonces a es equivalente ac .
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