Fracciones parciales: Cómo factorizar fracciones con denominadores cuadráticos

Ejemplo de una fracción complicada

Pensemos en álgebra por un minuto. Digamos que estás intentando sumar dos fracciones, como 1 / ( x +2) + 3 / ( x -1). Haría esto multiplicando el primer término por ( x -1) / ( x -1) y el segundo término por ( x +2) / ( x +2). Cuando haces eso, obtienes x ^ 2 + x -2 en la parte inferior, y puedes sumar los dos términos en la parte superior para obtener 4 x +5. Si trato de integrar estos como en el cálculo integral, los dos términos en el lado izquierdo parecen mucho más razonables (la integral de 1 / ( x +2) dx = ln ( x +2) + C) que el término gigantesco del lado derecho. De hecho, si me dieras (4 x +5) / ( x ^ 2 + x -2) y me dijeras que lo integrara, probablemente te miraría como si estuvieras loco. Y luego probaría la sustitución o ni siquiera sé qué más antes de devolvérselo y decir: ‘Hágalo usted mismo’. Debido a que el lado izquierdo es lo mismo que el lado derecho, ¿no sería bueno si pudiéramos tomar esta fracción grande, fea y gigantesca y convertirla en dos fracciones más pequeñas que son más fáciles de manejar?

En este problema A y B son coeficientes indeterminados

Resolver fracciones parciales

Esto es lo que llamamos resolver para fracciones parciales . Entonces, lo que tengo que hacer es tomar mi fracción grande y desagradable con un polinomio cuadrático en la parte inferior y algo menos que cuadrático en la parte superior, y voy a factorizar la parte cuadrática. Tengo x ^ 2 + x -2. Si lo factorizo ​​en dos términos separados, encuentro que ( x +2) ( x -1) es lo mismo que x ^ 2 + x -2, así que puedo factorizar esta cuadrática como ( x +2) ( x -1). Una vez que haya factorizado la parte inferior, sé que puedo reescribir toda la ecuación para que sea igual a A / ( x +2) + B / ( x-1), porque si multiplico el primer término por ( x -1) / ( x -1) y el segundo término por ( x +2) / ( x +2), obtengo algo que se parece a (4 x +5) / ( x +2) ( x -1). A y B son lo que llamamos coeficientes indeterminados . ¿Cómo encontramos estos coeficientes ‘indeterminados’ y los hacemos ‘determinados’? Echemos un buen vistazo a nuestra ecuación. Tenemos (4 x +5) / ( x +2) ( x -1) = A / ( x +2) + B / ( x -1). Como dije, si quiero combinar estas dos fracciones en una, necesito tomar la primera fracción y multiplicarla por ( x -1) / ( x -1) y tomar la segunda fracción y multiplicarla por ( x +2 ) / ( x +2). Cuando hago eso en el lado derecho, obtengo A ( x-1) + B ( x +2) / ( x +2) ( x -1). Como las bases de estas ecuaciones ahora son las mismas, puedo cancelarlas. Puedo simplemente multiplicar ambos lados de la ecuación por ( x +2) ( x -1), y obtengo 4 x + 5 = A ( x -1) + B ( x +2). Ahora voy a reunir los términos similares. Entonces, en este caso, tomaré cada parte de este lado derecho que tiene una x y las reuniré todas. Entonces obtengo Ax – A + Bx + 2B , y si reúno los dos términos con xen ellos y factorizar la x , obtengo 4 x + 5 = x ( A + B ) + (2 B – A ).

Con coeficientes indeterminados, el lado izquierdo debe ser igual al lado derecho para todos los valores de x

Una de las cosas más importantes que hay que tener en cuenta al resolver este problema de fracciones parciales para estos coeficientes indeterminados es que para que el lado izquierdo sea igual al lado derecho para todos los valores de x , recuerde, no sabemos qué son A y B son – el término con la x en el lado izquierdo tiene que ser igual al término con la x en el lado derecho. Es decir, 4 x tiene que ser igual a x ( A + B ). Eso significa A + B = 4. De manera similar, el término sin la x en el lado izquierdo tiene que ser igual al término sin la xen el lado derecho. Así que puedo escribir otra ecuación que es 5 = 2 B – A . Así que ahora tengo dos ecuaciones y dos incógnitas: A y B siguen siendo mis coeficientes indeterminados. Puede resolver estas dos ecuaciones para A y B usando el método que prefiera. Yo como sustitución, así que lo que haría es decir A = 4 – B , y me conecte 4 – B en mi segunda ecuación, 5 = 2 B – 4 – B , sólo para deshacerse de la Una . Si resuelvo eso para B , obtengo B = 3. Entonces puedo conectar Ben cualquiera de estas ecuaciones y resuelva para A , A = 4 – 3, y obtengo A = 1. Entonces tengo A = 1 y B = 3, puedo insertarlos en mis fracciones originales y obtengo (4 x +5) / ( x +2) ( x -1) = 1 / ( x +2) + 3 / ( x -1). Como no estoy seguro de mí mismo, quiero simplificar el lado derecho y convertirlo en una fracción para asegurarme de que sea igual a la fracción original en el lado izquierdo. Voy a multiplicar el primer término por ( x -1) / ( x -1) y multiplicar el segundo término por ( x +2) / ( x +2). En la parte superior de la fracción obtengo ( x -1) + (3 x +6), que se simplifica a (4 x +5) / ( x +2) (x -1). Eso coincide con lo que estaba en el lado izquierdo. Entonces, de hecho, puedo reescribir esta complicada ecuación como la suma de dos ecuaciones mucho más fáciles.

El proceso de resolución del problema de ejemplo final

Resolver fracciones parciales con factorización

Probemos con otro ejemplo. Digamos que tenemos (2 x +16) / ( x ^ 2 + x -6). Esta es un poco más difícil porque no sabemos la respuesta, a diferencia de la pregunta anterior. Nuestro primer paso, porque vamos a escribir esto como la suma de dos fracciones, es encontrar los factores que entran en x ^ 2 + x -6. Parece que va a ser x menos algo por x más algo, y 2 y 3 funcionan, así que tengo ( x -2) ( x +3). Ahora que hemos factorizado la parte inferior de esta ecuación, sé que las dos fracciones que vamos a sumar para obtener (2 x +16) / ( x ^ 2 + x-6) van a ser A / ( x -2) + B / ( x +3). Entonces A y B son mis coeficientes indeterminados. Para determinar cuáles son, voy a multiplicar el primer término de esta ecuación por ( x +3) / ( x +3), y voy a multiplicar el segundo término por ( x -2) / ( x -2). Así que puedo escribir esto como una ( x 3) + B ( x -2), que es igual a Ax 3 A + Bx -2 B . Y agrupemos de nuevo los términos que tienen xen ellos. Hagamos coincidir las partes superiores de las dos ecuaciones, por lo que tengo 2 x + 16 = ( A + B ) x + (3 A -2 B ). Para hacer que esta ecuación funcione para todos los valores de x , obtengo A + B = 2 como una ecuación, y obtengo 3 A -2 B = 16 como mi segunda ecuación, así que tengo una para el término x y otra para el término no x . Para solucionar esto, porque me gusta sustitución, voy a resolver un + B = 2 para A , por lo que obtener un = 2 – B . Voy a conectar eso para A en esta segunda ecuación: 3 (2- B ) – 2 B = 16. Si simplifico eso, obtengo B = -2. Si B = -2, puedo insertar eso en cualquier ecuación, A = 2 – (- 2), y encuentro que A = 4. Bien, he determinado mis dos coeficientes y puedo volver a ponerlos en mis dos fracciones. Si sumo 4 / ( x -2) a -2 / ( x +3), obtengo (2 x +16) / ( x ^ 2 +x -6). Solo para asegurarme, voy a hacer esa suma, y ​​obtengo 4 ( x +3) / ( x -2) ( x +3) – 2 ( x -2) / ( x -2) ( x + 3). Si simplifico la parte superior e inferior, obtengo (2 x +16) / ( x ^ 2 + x -6). Eso es igual a mi fracción original, por lo que se ve bien. Simplemente tomé una fracción realmente complicada y la hice lucir mucho mejor usando dos fracciones más pequeñas.

Comprobando la respuesta en el ejemplo final

Resumen de la lección

La clave con fracciones parciales es dividir una sola fracción, desagradable por factorización y la determinación de lo que los coeficientes indeterminados A y B son. Esto se hace agrupando todos los términos xy todos los términos distintos de x y estableciéndolos iguales en el lado izquierdo y en el lado derecho. Una vez hecho esto, usted va a terminar con, quizás, dos ecuaciones para A y B . Tendrá dos ecuaciones y dos incógnitas para que pueda resolver sus coeficientes, y habrá simplificado su fracción complicada en un par de fracciones más pequeñas y fáciles de manejar.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador