Espacios vectoriales: definición y ejemplo

¿Qué son los espacios vectoriales?

Para definir un espacio vectorial, primero necesitamos algunas definiciones básicas. Un conjunto es una colección de objetos distintos llamados elementos. Los elementos suelen ser números reales o complejos cuando los usamos en matemáticas, pero los elementos de un conjunto también pueden ser una lista de cosas. Anotamos un conjunto encerrando los elementos entre llaves. Tenga en cuenta que para ser distinto, un elemento no se puede repetir dentro del mismo conjunto.

• {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} es el conjunto de números de un solo dígito que usamos en matemáticas.
• {a B C D, . . ., y, z} es el conjunto de letras del alfabeto.

Echemos ahora un vistazo más de cerca a los elementos en espacios vectoriales. Primero, es importante tener en cuenta que un espacio en matemáticas es un conjunto en el que la lista de elementos está definida por una colección de pautas o axiomas sobre cómo cada elemento se relaciona con otro dentro del conjunto.

Un espacio vectorial es un espacio en el que los elementos son conjuntos de números en sí mismos. Cada elemento en un espacio vectorial es una lista de objetos que tiene una longitud específica, que llamamos vectores . Por lo general, nos referimos a los elementos de un espacio vectorial como n -tuplas, con n como la longitud específica de cada uno de los elementos del conjunto.

Cada elemento de un espacio vectorial de longitud n se puede representar como una matriz, que recordará es una colección de números entre paréntesis. Las representaciones matriciales requieren muchas otras lecciones en la multiplicación y suma de matrices, por lo que usaremos la notación de paréntesis para esta lección.

Aquí hay un ejemplo: en el espacio vectorial de 4 dimensiones de los números reales, anotado como R 4 , un elemento es (0, 1, 2, 3). Este vector tiene cuatro partes y es un solo elemento dentro del espacio vectorial R 4 .

Ahora echemos un vistazo más de cerca a los campos. Nos referimos a cualquier espacio vectorial como un espacio vectorial definido sobre un campo F dado . Un campo es un espacio de números individuales, generalmente números reales o complejos. Los axiomas específicos para definir un campo son similares a los de un espacio vectorial, por lo que para los propósitos de esta lección, definiremos un campo como un espacio vectorial cuyos elementos son números únicos que se adhieren al mismo conjunto de axiomas que los que usamos. están a punto de explicar.

Axiomas para espacios vectoriales

Hay diez axiomas que definen un espacio vectorial. Dejamos que x , y , y z sean elementos del espacio vectorial V . Dejamos una y B son elementos del campo F .

1. Cerrados bajo adición: Para cada elemento x y y en V , x + y es también en V .
2. Cerrado bajo la multiplicación escalar: Para cada elemento x en V y escalar un en F , ax es en V .
3. Commutativity de adición: Para cada elemento x y y en V , x + y = y + x .
4. Asociatividad de la suma: para cada elemento x , y y z en V , ( x + y ) + z = x + ( y + z ).
5. La existencia de la identidad aditiva: existe un elemento en V denota como 0 tales que x + 0 = x , para todos los x en V .
6. Existencia del inverso aditivo: Para cada elemento x en V , existe otro elemento en V que llamaremos – x tal que x + (- x ) = 0.
7. Existencia de la identidad multiplicativa: Existe un elemento en F anotado como 1 tal que para todo x en V , 1 x = x .
8. Asociatividad de la multiplicación escalar: Para cada elemento x en V , y para cada par de elementos a y b en F , ( ab ) x = un ( bx ).
9. Distribución de los elementos a escalares: Para cada elemento un en F y cada par de elementos x y Y en V , una ( x + y ) = ax + ay .
10. Distribución de escalares a los elementos: Para cada elemento x en V , y cada par de elementos a y b en F , ( un + b ) x = ax + bx .

Ejemplo de espacios vectoriales

Estos son los espacios de n tuplas en los que cada parte de cada elemento es un número real, y el conjunto de escalares es también el conjunto de números reales. Echemos un vistazo más de cerca a algunas definiciones clave para nuestro ejemplo.

• La adición se define como la adición de las partes correspondientes de cada elemento: ( a , b …,) + ( C , d ,…) = ( A + c , b + d ,…).
• La multiplicación escalar se define como la multiplicación de cada parte del elemento por el escalar: a ( b , c ,…) = ( Ab , ac ,…).
• La identidad aditiva para estos espacios vectoriales es el elemento (0, 0, 0,…, 0), en el que hay n 0 en este elemento.
• La identidad multiplicativa para estos espacios vectoriales es el escalar 1 desde el cuerpo de los números reales R .

El siguiente es un ejemplo básico, pero no una prueba de que el espacio R 3 es un espacio vectorial.

Axioma 1: Cierre de la adición

Sea x = (0, 1, 2), y sea y = (3, 4, 5) de R 3 :

• x + y = (0, 1, 2) + (3, 4, 5) = (0 + 3, 1 + 4, 2 + 5) = (3, 5, 7)

Otro elemento en R 3 es (3, 5, 7). Podemos generalizar lo anterior de la siguiente manera:

• x + y = ( a , b , c ) + ( re , e , f ) = ( a + re , b + e , c + f )

( a + d , b + e , c + f ) es otro elemento de R 3 , y por lo tanto este espacio se cierra bajo adición.

Axioma 2: Cierre de la multiplicación escalar

Vamos x ser ( un , b , c ) a partir de R 3 , y sea g ser un elemento del campo F .

• g ( a , b , c ) = ( ga , gb , gc )

Dado que ( ga , gb , gc ) es otro elemento de R 3 , este espacio también se cierra bajo la multiplicación escalar.

Axioma 3: conmutatividad de la suma

Sea x = (0, 1, 2), y sea y = (3, 4, 5) de R 3 :

• x + y = (0, 1, 2) + (3, 4, 5) = (0 + 3, 1 + 4, 2 + 5) = (3, 5, 7)
• y + x = (3, 4, 5) + (0, 1, 2) = (3 + 0, 4 + 1, 5 + 2) = (3, 5, 7)

Este ejemplo se puede generalizar reemplazando los números enteros con letras como marcadores de posición para cualquier número real.

Axioma 4: Asociatividad de la suma

Sea x = (0, 1, 2), y = (3, 4, 5) yz = (6, 7, 8) de R 3 :

• ( x + y ) + z = (0, 1, 2) + (3, 4, 5) + (6, 7, 8) = (3, 5, 7) + (6, 7, 8) = (9 , 12, 15)
• x + ( y + z ) = (0, 1, 2) + (3, 4, 5) + (6, 7, 8) = (0, 1, 2) + (9, 11, 13) = (9 , 12, 15)

Este ejemplo también se puede generalizar reemplazando los números enteros con letras como marcadores de posición para cualquier número real.

Para el resto de los axiomas, generalizaremos los elementos usando a , b , c , d , e , f , g y h como marcadores de posición.

Axioma 5: Identidad aditiva

• (0, 0, 0) dado ( a , b , c ) en R 3
• ( a , b , c ) + (0, 0, 0) = ( a + 0, b + 0, c + 0) = ( a , b , c )

Axioma 6: Aditivo inverso

Dado ( a , b , c ) en R 3 , entonces existe (- a , – b , – c ) en R 3 de modo que:

• ( a , b , c ) + (- a , – b , – c ) = ( a + (- a ), b + (- b ), c + (- c )) = (0, 0, 0)

Axioma 7: Identidad multiplicativa

El escalar 1 del campo de los números reales:

• 1 ( a , b , c ) = (1 a , 1 b , 1 c ) = ( a , b , c )

Axioma 8: Asociatividad de la multiplicación escalar

Dada d y e del campo de los números reales, y ( un , b , c ) a partir de R 3 :

• ( de ) ( a , b , c ) = ( dea , deb , dec )
• d » e » (» a », » b », » c ») = d ( ea , eb , ec ) = ( dea , deb , dec )

Axioma 9: Distribución de escalares entre elementos

Dada ( un , b , c ) y ( d , e , f ) a partir de R 3 y g del campo R :

• g (» a », » b », » c ») + (» d », » e », » f ») = g ( a + d , b + e , c + f ) = ( ga + gd , gb + ge , gc + gf )
• g ( a , b , c ) + g ( d , e , f ) = ( ga , gb , gc ) + ( gd , ge , gf ) = ( ga + gd , gb + ge , gc + gf )

Axioma 10: Distribución de elementos entre escalares

Dada ( un , b , c ) a partir de R 3 , y g y h desde el campo R :

• ( g + h ) ( a , b , c ) = (( g + h ) a , ( g + h ) b , ( g + h ) c ) = ( ga + ha , gb + hb , gc + hc )
• g ( a , b , c ) + h ( a , b , c ) = ( ga , gb , gc ) + ( ha , hb , hc ) = ( ga + ha , gb + hb , gc + hc )

Resumen de la lección

Ahora, tomemos un breve momento para recapitular lo que hemos aprendido sobre los espacios vectoriales. Primero, aprendimos que los conjuntos son colecciones de objetos distintos llamados elementos, que una lista de objetos que tiene una longitud específica se llama vector , y que un espacio vectorial es un espacio en el que los elementos son conjuntos que se adhieren al conjunto de diez axiomas. adelante que describimos. Los diez axiomas que aprendimos son los siguientes:

1. Cerrados bajo adición: Para cada elemento x y y en V , x + y es también en V .
2. Cerrado bajo la multiplicación escalar: Para cada elemento x en V y escalar un en F , ax es en V .
3. Commutativity de adición: Para cada elemento x y y en V , x + y = y + x .
4. Asociatividad de la suma: para cada elemento x , y y z en V , ( x + y ) + z = x + ( y + z ).
5. La existencia de la identidad aditiva: existe un elemento en V denota como 0 tales que x + 0 = x , para todos los x en V .
6. Existencia del inverso aditivo: Para cada elemento x en V , existe otro elemento en V que llamaremos – x tal que x + (- x ) = 0.
7. Existencia de la identidad multiplicativa: Existe un elemento en F anotado como 1 tal que para todo x en V , 1 x = x .
8. Asociatividad de la multiplicación escalar: Para cada elemento x en V , y para cada par de elementos a y b en F , ( ab ) x = un ( bx ).
9. Distribución de los elementos a escalares: Para cada elemento un en F y cada par de elementos x y Y en V , una ( x + y ) = ax + ay .
10. Distribución de escalares a los elementos: Para cada elemento x en V , y cada par de elementos a y b en F , ( un + b ) x = ax + bx .

Para definir correctamente los espacios vectoriales, debe definir funciones de suma y multiplicación escalar que aseguren que se conserven las propiedades de asociatividad, conmutatividad y distribución.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador