El proceso de Gram-Schmidt para ortonormalizar vectores

El proceso de Gram-Schmidt

Experimentar con mezclas de especias es divertido. Digamos que nuestras especias imaginarias se llaman altimusX y altimusY, disponibles en formatos premezclados: carteras de 3 partes de altimusX con 4 partes de altimusY y carteras de 5 partes de altimusY. ¿Qué pasa si una receta requiere 1 parte de altimusX con 4 partes de altimusY? ¿Cuánto de cada cartera combinarías?

Esta pregunta conduce al proceso de Gram-Schmidt , que es un algoritmo para ortonormalizar vectores. Para apreciar mejor el proceso, comenzamos con vectores independientes y vectores base. En la analogía de la receta, las carteras son como vectores independientes. Luego producimos vectores de base ortogonal.

Combinando Vectores

Tres de altimusX y 4 de altimusY se pueden escribir como (3,4), que parecen vectores. Por ejemplo, v1 = (3,4) y v2 = (0,5). Los vectores tienen longitud y dirección; Para los propósitos de esta lección, estamos interesados ​​en vectores con diferentes direcciones. Estos vectores son independientes, como los vectores v1 y v2 que se muestran a continuación:

Dos vectores independientes

Los vectores independientes pueden formar una base , lo que significa que otros vectores en el mismo espacio se pueden escribir como una combinación de estos vectores. En nuestra analogía de receta, deseamos una mezcla de 1 altimusX con 4 altimusY. Aquí, d = (1, 4) es una combinación lineal , o expresión, de v1 y v2 .

Un vector deseado d es la base

Realicemos algunos cálculos:

• 1/3 de v1 + 8/15 de v2 = d
• 1/3 de v1 (1/3 por 3, 1/3 por 4) = (1, 4/3)
• 8/15 de v2 (8/15 por 0, 8/15 por 5) = (0, 8/3)
• 1/3 de v1 + 8/15 de v2 = (1, 4/3) + (0, 8/3)
• (1 + 0, 4/3 + 8/3) = (1, 12/3) = (1,4)

Quizás te preguntes cómo obtuvimos el 1/3 y el 8/15: resolviendo dos ecuaciones y dos incógnitas. Pero hay una mejor manera de tener combinaciones lineales porque hay una mejor base. Podríamos utilizar una base ortonormal , o una en la que los vectores base no solo sean independientes, sino también perpendiculares entre sí (la parte ‘orto’ de ortonormal). Y aún mejor, cada vector tiene una longitud de 1 (la parte ‘normal’ de ortonormal).

Probablemente ya conozca los vectores básicos ortonormales estándar: (1,0) y (0,1) en dos dimensiones. Para hacer las cosas más interesantes, vamos a mantener v1 y usarlo con v2 para obtener otra base ortonormal.

Proyección

Para obtener un vector perpendicular a v1 , proyectamos v2 sobre v1 . Esto es como el sol proyectando una sombra de v2 sobre v1 . ¿Ves el vector negro en la figura? Luego, invertimos la dirección de la proyección:

El vector resultante

Pasar del «principio» al «final» con el vector marrón que se muestra arriba es lo mismo que sumar la proyección inversa de v2 (el vector negro) con v2 (el vector verde). Ahora, cambie el vector marrón al origen sin cambiar su dirección o longitud. El color vuelve a cambiar a verde para recordarnos que proviene del vector v2 .

Dos vectores ortogonales

Ahora es el momento de cambiar los nombres de esos vectores:

• v1 ahora es w1
• El nuevo vector perpendicular a v1 es w2

Luego dividimos w1 por su longitud (escrito || w1 ||) y w2 por su longitud (escrito || w2 ||. Los vectores ahora tienen unidad en longitud, y los etiquetamos como u1 y u2 . Sus valores son:

• u1 = (.6, .8)
• u2 = (-.8, .6)

Ahora, nuestro vector deseado d es una combinación lineal de los vectores base ortonormales u1 y u2 , como se muestra a continuación.

El vector deseado d en la base ortonormal

Podemos usar el producto interno , o el ‘producto escalar’, para encontrar las proporciones. Vayamos directo al cálculo del producto interno de v1 con v2 :

• v1 · v2
• (3,4) · (0,5)
• 3 por 0 + 4 por 5
• 0 + 20 = 20

¿Qué tal el producto interno de nuestros vectores ortonormales, u1 y u2 :

• u1 · u2
• (.6, .8) · (-.8, .6)
• .6 veces -.8 + .8 veces .6
• -.48 + .48 = 0

El producto interno de los vectores ‘orto’ es 0, pero ¿qué pasa con el producto interno de un vector consigo mismo?

• v1 · v1
• (3,4) · (3,4)
• 3 por 3 + 4 por 4 = 9
• 9 + 16 = 25

La raíz cuadrada de 25 es 5. Esto es || v1 ||. Para encontrar la longitud de u1 y u2 :

• Toma el producto interno, u1 · u1
• (.6, .8) · (.6, .8)
• .6 por .6 + .8 por .8 = .36
• 36 + .64 = 1.

La longitud de u1 es la raíz cuadrada de 1, que es 1. Lo mismo ocurre con u2 . Para encontrar las porciones en la combinación lineal, escribimos: d = au1 + bu2 .

Tomando el producto interior con u1 de ambos lados:

• d · u1
• au1 · u1 + bu2 · u1

Como u1 · u1 es 1 y u2 · u1 es 0, d · u1 = a . Al evaluar, vemos que:

• d · u1
• (1,4) · (.6, .8) = .6
• .6 + 3.2 = 3.8.

¿Qué pasa con b y u2 ? Aquí:

• d · u2 = b
• (1,4) · (-.8, .6)
• -,8 + 2,4 = 1,6.

Todos estos cálculos pueden parecer un poco borrosos, así que analicemos lo que hemos hecho. Comenzamos con dos vectores independientes, v1 y v2 , y mostramos d escrito como una combinación lineal de v1 y v2 . Esta es la idea de una base. Para dimensiones altas, puede resultar realmente tedioso encontrar los coeficientes para este tipo de base.

Mostramos cómo construir una base ortonormal comenzando con un vector y restando una proyección. También mostramos cómo obtener los coeficientes de los vectores en la base ortonormal. Por cierto, ¿puedes verificar d = 3.8 u1 + 1.6 u 2?

Declarando concisamente el proceso de Gram-Schmidt

Aquí está la declaración compacta del proceso de Gram-Schmidt:

¿Ves dónde w1 es solo v1 ? ¿Y que la proyección de un vector v sobre un vector w es el producto escalar de v con w dividido por el producto escalar de w consigo mismo? Ahora multiplicamos por w . El signo negativo invierte la dirección de la proyección. El resultado es un vector ortogonal a v . Con un número creciente de vectores, esta idea de encontrar las proyecciones y luego invertirlas se amplía. El signo sigma grande significa sumar los términos a la derecha de la sigma desde i = 1 hasta i = n – 1.

Después de encontrar los vectores ortogonales, normalizamos dividiendo cada vector por su longitud, como se muestra a continuación:

¡Y eso es! Me pregunto a qué sabe una receta con altimusZ.

Resumen de la lección

Una base es un conjunto de vectores independientes. Si el producto interno de dos vectores es 0, estos vectores son ortogonales . Podemos ortogonalizar vectores usando el proceso de Gram-Schmidt . En este proceso, la versión ortogonal de un vector se encuentra restando las proyecciones de ese vector de sí mismo. Un vector normalizado tiene una unidad de longitud. Un vector se puede normalizar dividiendo el vector por su longitud. Tener una base ortonormal facilita encontrar los coeficientes de una combinación lineal de vectores base.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador