X-Bar en estadísticas: teoría y fórmula

¿Qué es la x -Bar?

Se escuchó a un niño haciendo estas preguntas a su madre:

• ¿Qué altura tiene un jugador de baloncesto profesional?
• ¿Cuántas calorías tiene una bola de helado de chispas de chocolate?
• ¿Cuánto dinero gana un maestro de escuela?

Todas estas preguntas se pueden responder utilizando estadísticas. La estadística es la ciencia de recopilar y analizar datos numéricos recopilados de una muestra representativa para inferir la verdadera media o proporción de una población.

Obviamente, todos los jugadores de baloncesto profesionales no tienen la misma altura, cada bola de helado de chispas de chocolate contiene un poco más o menos calorías que la siguiente, y todos los maestros en Estados Unidos no obtienen exactamente los mismos ingresos.

Podemos tomar muestras de datos de las poblaciones que representan y calcular un valor único llamado estadística. Luego, podemos usar ese valor para estimar características que son verdaderas para toda la población, llamado parámetro . La barra x es el símbolo (o expresión) que se utiliza para representar la media muestral, una estadística, y esa media se utiliza para estimar el parámetro de población real, mu .

Para encontrar la altura promedio de los jugadores de baloncesto profesionales (la población), no es necesario medir a todos los jugadores, solo a algunos de ellos (la muestra). ¿Cómo seleccionamos cuáles medir? ¿Cuántos jugadores son suficientes para pedir una muestra? La forma en que un investigador toma estas decisiones influye en las inferencias que se pueden hacer. Después de todo, una cita anónima pero frecuentemente citada sobre estadísticas es que cualquier análisis es tan bueno como los datos en los que se basa.

Las muestras aleatorias y el tamaño de la muestra son importantes

Las medias de muestra precisas provienen de muestras aleatorias e incluyen un número suficiente de personas. La inferencia estadística solo es apropiada para datos aleatorios. El acto de aleatorizar garantiza que los resultados del análisis de nuestros datos están sujetos a las leyes de la probabilidad.

El muestreo aleatorio simple (SRS) es un tipo de método de muestreo, es decir, es un procedimiento para seleccionar la muestra que representará a la población. SRS es simple y confiable, por lo que se usa con más frecuencia al seleccionar una muestra. Se utilizan varias estrategias para obtener una muestra aleatoria. Un investigador podría colocar los nombres de cada jugador de baloncesto profesional en tiras de papel y colocarlos en un sombrero y, sin mirar, sacar una muestra aleatoria o asignar a cada jugador un número y usar un generador de tablas aleatorio para seleccionar una muestra aleatoria.

Además de cómo se seleccionan las muestras, el tamaño de la muestra también es importante. El teorema del límite central establece que a medida que el tamaño de la muestra aumenta a al menos 30 observaciones individuales, la distribución muestral de las estadísticas obtenidas para cualquier variable aleatoria será normal.

Para estimar las calorías en una bola de helado de chispas de chocolate, debemos asegurarnos de que la muestra sea aleatoria y de un tamaño suficiente. Usamos un servicio de camiones para seleccionar al azar 30 camiones de helados en transporte por Estados Unidos algún jueves. Le pedimos a la universidad local que envíe un científico para detener estos camiones y tomar 1 bola de helado de chocolate de 20 envases diferentes. Los científicos miden cada bola, luego colocan la bola en un contador de calorías que mide las calorías de cada bola (ahora derretida) de helado. Luego, cada investigador invoca una única estadística: la media muestral, x -bar.

Calcular x -Bar

Para calcular la media muestral x -bar, cada investigador suma todos los recuentos de calorías de cada bola de helado. Por tanto, cada investigador ha sumado 20 valores. Luego, cada investigador divide esa suma por el número de números sumados, que en este ejemplo es 20. La media de la muestra es el promedio del grupo.

Ingresamos los 30 valores en nuestro conjunto de datos maestro. Estos 30 valores no son las observaciones individuales, sino las medias muestrales. Ahora tenemos una distribución de medias muestrales llamada distribución muestral .

La distribución muestral

Las distribuciones muestrales son los puntos graficados de todas las medias muestrales. La inferencia estadística formal se basa en las distribuciones muestrales de las estadísticas.

Entendemos que si lanza una moneda al aire 10 veces puede que no obtenga 5 caras y 5 cruces. Pero si lo volteamos 1000 veces, las leyes de probabilidad nos dicen que nos acercamos bastante a 500: 500. En estadística, entendemos que promediar observaciones individuales para obtener una media muestral podría acercarnos al parámetro, ¡pero tomar la media de las medias muestrales es casi una apuesta segura!

Las observaciones individuales son variables, las medias muestrales de las observaciones individuales son menos variables, las distribuciones muestrales son altamente fiables. Son la medida más confiable del verdadero valor desconocido del parámetro.

Resumen de la lección

¡Revisemos! La estadística es la ciencia de recopilar y analizar datos numéricos recopilados de una muestra representativa para inferir la verdadera media o proporción de una población. La x -bar_ es el símbolo (o expresión) utilizado para las estadísticas de la media de la muestra. Se utiliza para estimar el verdadero parámetro de población, mu .

Una vez que se identifica una población y se decide el atributo que se medirá, usamos un método de muestreo aleatorio para seleccionar una muestra de al menos 30 observaciones. Calculamos la media muestral sumando las observaciones individuales de la muestra y luego dividiéndola por el número de observaciones sumadas. La media muestral es la barra x , que es la estadística.

Si repetimos este proceso muchas veces, podemos tomar todas las medias muestrales obtenidas de la muestra diferente para trazar la distribución muestral. Las leyes de probabilidad nos dicen que esta media de medias es la mejor estimación del parámetro verdadero, mu .

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